Massimo comun divisore (GCF)

Massimo comun divisore (GCF)

Massimo comun divisore

Il massimo comun divisore (GCF) è il numero più grande per il quale è possibile dividere due o più numeri. Questo, senza lasciare alcun residuo.

Cioè, il massimo comun divisore o GCF è la cifra più alta per la quale un insieme di numeri può essere diviso, risultando in un numero intero.

Un divisore può essere formalmente definito come quel numero che è contenuto in un altro esattamente una quantità n volte.

Va notato che i numeri su cui viene calcolato il GCF devono essere diversi da zero.

Per spiegarlo meglio, diamo un’occhiata a un esempio. Supponiamo di avere 35 e 15. Quindi, osserviamo quali sono i divisori di ciascuno:

  • Divisori di 35 → 35,7,5,1
  • Divisori di 15 → 15,5,3,1

Pertanto, il massimo comun divisore di 35 e 15 è 5.

Vale la pena ricordare che se i divisori comuni di due numeri sono solo 1 e -1, sono chiamati "primi tra loro".

Metodi per calcolare il massimo comun divisore

Possiamo distinguere i seguenti tre metodi per calcolare il massimo comun divisore:

  • Scomposizione in fattori primi: i numeri vengono scomposti in numeri primi. Quindi, per calcolare il GCF, prendiamo i numeri comuni elevati alla potenza più bassa. Ad esempio, supponiamo di avere 216 e 156:

216/2 = 108

108/2 = 54

54/2 = 27

27/3 = 9

9/3 = 3

3/3 = 1

216 = (3 ^ 3) * (2 ^ 3)

156/2 = 78

78/2 = 39

39/3 = 13

13/13 = 1

156 = 13 * 3 * (2 ^ 2)

Pertanto, il massimo comun divisore tra i due numeri sarebbe: (2 ^ 2) * 3 = 12

Supponiamo ora di avere tre elementi: 315, 441 e 819

315 = (3 ^ 2) * 7 * 5

441 = (3 ^ 2) * (7 ^ 2)

819 = (3 ^ 2) * 7 * 13

Quindi, dopo averli disaggregati, prendendo ogni divisore con la sua potenza più bassa, il risultato sarebbe:

GCF = (3 ^ 2) * 7 = 63

  • Algoritmo di Euclide : Dividendo a per b , otteniamo un quoziente c ed r . Quindi, il massimo comun divisore di a e b è lo stesso di b e r . Questo, dato quanto segue: a = bc + r . Per capirlo meglio, applichiamo questo metodo all’esempio mostrato in precedenza con 216 e 156.

216/156 = 1 con resto di 60

ora dividiamo 156/60 = 2 con resto 36

Dividiamo ancora 60/36 = 1 con resto 24

Ancora una volta dividiamo 36/24 = 1 con resto 12

E infine dividiamo 24/12 = 2 con resto 0

Pertanto, il massimo comun divisore è 12. Come possiamo vedere, dobbiamo dividere fino a quando il resto è 0 e l’ultimo divisore sarà il GCF.

  • Basato sul minimo comune multiplo : i numeri vengono moltiplicati e il risultato diviso per il loro minimo comune multiplo (LCM).
Mcd 1

Dobbiamo ricordare che il minimo comune multiplo (LCM) è la cifra più piccola che soddisfa la condizione di essere multiplo di tutti gli elementi di un insieme di numeri.

Cioè, tornando allo stesso esempio, possiamo scomporre come segue:

216 = (3 ^ 3) * (2 ^ 3) e 156 = 13 * 3 * (2 ^ 2) 204 = 3 * (2 ^ 2) * 17 168 = 3 * (2 ^ 3) * 7

Il minimo comune multiplo sarebbe: (3 ^ 3) * (2 ^ 3) * 13 * 17 * 7 = 334.152

Quindi: MCD = 216 * 156 / 2.808 = 12

Vale la pena ricordare che questo metodo funziona solo per due numeri.

Insiemi numerici

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