Convessità di un legame

La convessità di un’obbligazione è la pendenza della curva che mette in relazione prezzo e redditività. Misura la variazione della durata dell’obbligazione a seguito di una variazione della redditività.

Convessità di un legame

Matematicamente si esprime come derivata seconda della curva prezzo-redditività. La formula è la seguente:

La variazione del prezzo di un’obbligazione in caso di variazione dei tassi di interesse è la somma della variazione determinata dalla modifica della duration e della variazione determinata dalla convessità dell’obbligazione.

Se la convessità di un’obbligazione è pari a 100, il prezzo dell’obbligazione subirà un ulteriore 1% per ogni 1% di variazione dei tassi di interesse, oltre a quello calcolato dalla durata. Se la convessità di un’obbligazione è pari a zero, il prezzo dell’obbligazione varierà al variare dei tassi di interesse dell’importo motivato dalla durata dell’obbligazione.

Convessità della relazione di un’obbligazione e durata di un’obbligazione

La convessità di un’obbligazione ci offre una misura molto più accurata delle variazioni di prezzo-rendimento di un’obbligazione. La durata di un’obbligazione presuppone che il rapporto tra prezzo e rendimento sia costante. Tuttavia, la realtà è molto diversa. Pertanto, a fronte di piccole variazioni di prezzo-redditività, la durata è una misura accettabile. Ma per variazioni maggiori il calcolo della convessità diventa essenziale.

Matematicamente può sembrare un termine un po’ astratto. Dato che graficamente è molto più facile da capire, vediamolo rappresentato. Nei due grafici seguenti vediamo rappresentate sia la durata che la convessità.

Più bassa è la redditività dell’obbligazione, maggiore è il suo prezzo. E viceversa, maggiore è la redditività dell’obbligazione, minore è il suo prezzo. Naturalmente, il prezzo non cambia nella stessa proporzione se la sua redditività cambia dal 10 al 12% come se cambiasse dall’1 al 2%. Questo è ciò che tiene conto della convessità. La durata presuppone che la variazione di prezzo sia la stessa ogni volta. Mentre la convessità tiene conto del fatto che la variazione del prezzo non è costante. La differenza tra la linea blu e la linea arancione è la convessità stessa. La linea arancione è la variazione del prezzo dell’obbligazione tenendo conto della durata. Infine, la linea blu rappresenta le variazioni del prezzo del titolo tenendo conto della durata e della convessità.

Esempio di convessità di un legame

Abbiamo un’obbligazione che scade tra 10 anni. La cedola è del 7% e il titolo ha un valore nominale di 100 euro. L’IRR di mercato è del 5%. Ciò significa che le obbligazioni con caratteristiche simili offrono un rendimento del 5%. O qual è lo stesso 2% in meno. Il pagamento della cedola è annuale.

Se il rendimento dell’obbligazione va dal 7% al 5%, di quanto cambia il prezzo dell’obbligazione? Per calcolare la variazione che avrebbe il prezzo in caso di variazione del tasso di interesse, avremo bisogno delle seguenti formule:

Calcolo del prezzo dell’obbligazione:

Calcolo della durata del bonus:

Calcolo della durata modificata:

Calcolo della convessità:

Calcolo della variazione della durata:

Calcolo della variazione di convessità:

Calcolo della variazione del prezzo del titolo:

Scarica la tabella excel per vedere tutti i calcoli dettagliati

Utilizzando le formule sopra indicate si ottengono i seguenti dati:

Prezzo dell’obbligazione = 115,44

Durata = 7.71

Durata modificata = 7,34

Convessità = 69,73

La variazione di prezzo a fronte di un calo del 2% del rendimento dell’obbligazione è +14,68% tenendo conto della duration. La variazione del prezzo dell’obbligazione tenendo conto della convessità è di + 1,39%. Per ottenere la variazione totale del prezzo dobbiamo sommare le due variazioni. Il calcolo mostra che a fronte di un calo del 2% di questo titolo, il prezzo aumenterebbe del 16,07%.