Szimmetrikus mátrix

A szimmetrikus mátrix egy olyan n-rendű mátrix, amelyben azonos számú sor és oszlop van, és a transzponált mátrixa megegyezik az eredeti mátrixszal.

Más szóval, a szimmetrikus mátrix egy négyzetes mátrix, és azonos a mátrixszal, miután sorokat cserélt oszlopokra és oszlopokat sorokra.

Követelmények

Ahhoz, hogy bármely mátrix szimmetrikus mátrix legyen, meg kell felelnie a következő korlátozásoknak:

Adott egy n rendű P szimmetrikus mátrix,

• Legyen négyzetmátrix .

A sorok számának (n) meg kell egyeznie az oszlopok számával (m). Vagyis a mátrix sorrendjének n-nek kell lennie, ha n = m.

• Az eredeti mátrixnak meg kell egyeznie a transzponált mátrixával .

Demonstráció:

Tulajdonságok

• A szimmetrikus mátrix adjungált mátrixa egyben szimmetrikus mátrix is.

Demonstráció:

• Két szimmetrikus mátrix összeadása vagy kivonása egy másik szimmetrikus mátrixot eredményez.

Demonstráció:

Adott két 3-as rendű P és T szimmetrikus mátrix, az összegből egy másik S szimmetrikus mátrixot kapunk.

Miért hívják szimmetrikus mátrixnak?

A szimmetria tulajdonságát a főátló körüli elemek adják. Mivel a négyzetes mátrix szimmetrikus mátrix, mindig ugyanannyi elem lesz a főátló felett és alatt. Ezek az elemek szimmetrikusan megegyeznek. Vagyis a főátló tükörként működik.

A mátrix szimmetriájának és ferdeségének bizonyítása

Szimmetrikus mátrix

A d betű a főátló elemeit jelöli. A többi betű bármely valós számot jelent. Láthatjuk, hogy a főátló tükörként működik: mindkét oldalon visszaveri az elemeket. Más szóval, ha az átló mindkét oldalán lévő elemek szimmetrikusan egyenlőek, akkor azt mondjuk, hogy a P mátrix szimmetrikus mátrix.

Nem szimmetrikus mátrix

Az X mátrix nem szimmetrikus mátrix, mivel nem négyzetes mátrix, és a transzponált mátrixa eltér az eredeti mátrixtól. Ráadásul nincs főátlója sem.