A nem-szimmetrikus mátrix olyan nem négyzetes mátrix, ahol a transzponált mátrix elemei eltérő pozícióban vannak, mint az eredeti mátrix elemei.
Más szavakkal, a nem szimmetrikus mátrix egy olyan mátrix, ahol a sorok száma (n) eltér az oszlopok számától (m), és a mátrix transzponálása eltér az eredeti mátrixtól.
Fontos, hogy ne keverjük össze a nem szimmetrikus mátrixokat az antiszimmetrikus mátrixokkal, mivel ezek nagyon különböző fogalmak, és a mátrixon belüli különböző elemekre utalnak.
Ahhoz, hogy egy mátrix szimmetrikus legyen, négyzetes mátrixnak kell lennie, és egyenlőnek kell lennie a transzponált mátrixával. Más szóval, hogy a sorok száma (n) egyenlő az oszlopok számával (m), és a mátrix elemei ne változzanak, ha a sorokat az oszlopok megváltoztatták.
Matematikailag a szimmetria fogalma azt jelenti, hogy a transzponálási művelet alkalmazásával a mátrix elemei nem változnak.
A szimmetrikus mátrix és a tükrök
Jobban megértjük a nem szimmetrikus mátrix fogalmát, ha átgondoljuk a tükör által keltett hatást.
Ha belenézünk a tükörbe, arcunk tükröződik; ha felemeljük a kezünket, egy kéz is felemelkedik a tükörben. Ugyanúgy, mint ha bármilyen mozdulatot teszünk, akkor ugyanaz a tükröződő gesztus jelenik meg.
Nos, ugyanez történik a szimmetrikus mátrix főátlójával. A főátló alatti vagy feletti elemek ugyanazok lesznek. Vagyis a szimmetrikus mátrix főátlója a körülötte lévő elemek tükreként működik.
Adott egy S szimmetrikus mátrix,
A transzponált S mátrixnak a következő alakja lenne:
A matematikai tulajdonságaival kapcsolatos további információkért olvassa el a szimmetrikus mátrixról szóló cikket.
A nem szimmetrikus mátrix és a tükrök
A nem szimmetrikus mátrix esetében olyan, mintha a tükör eltört volna.
És ha egy tükör eltörik, nem tükrözi jól az előtte lévő elemeket. Felemelhetjük a jobb kezünket, és láthatjuk, hogy négy kéz van felemelve, vagy egyik sem.
Tehát ugyanazt a logikát alkalmazva a nem szimmetrikus mátrix arról szól, hogy ne legyenek ugyanazok az elemek a főátló felett vagy alatt, és arról is, hogy nem egyenlőek.
Oly módon, hogy:
Ebben a mátrixban nem találjuk a főátlót, ezért nincs szimmetria az elemek számában. Továbbá, ha az előző mátrixot transzponáljuk, látni fogjuk, hogy nem őrzi meg eredeti állapotát.
A transzponált NS mátrix a következő formában lesz:
Összegzés
Amikor találkozunk a nem szimmetrikus mátrix fogalmával, csak a szimmetrikus mátrixra kell gondolnunk, és annak jellemzői elé tagadást kell tennünk. Vagyis egy nem szimmetrikus mátrix olyan lesz, hogy kielégíti:
- Nem négyzetes mátrix.
- A transzponált mátrix nem egyenlő az eredeti mátrixszal.
Könnyűnek tűnik megjegyezni, mi az a nem szimmetrikus mátrix, de amikor antiszimmetrikus mátrixokkal dolgozunk, néha összekeverjük a fogalmakat.
Antiszimmetrikus mátrix