Legnagyobb közös osztó (GCF)

Legnagyobb közös osztó (GCF)

Legnagyobb közös osztó

A legnagyobb közös osztó (GCF) az a legnagyobb szám, amellyel két vagy több szám osztható. Ezt anélkül, hogy maradékot hagyna.

Ez azt jelenti, hogy a legnagyobb közös osztó vagy GCF az a legmagasabb szám, amellyel egy számhalmaz osztható, ami egész számot eredményez.

Egy osztó formálisan úgy definiálható, mint az a szám, amelyet egy másik pontosan n-szeres mennyiségben tartalmaz.

Meg kell jegyezni, hogy a GCF kiszámításához használt számoknak nullától eltérőnek kell lenniük.

Hogy jobban megmagyarázzuk, nézzünk egy példát. Tegyük fel, hogy van 35 és 15. Így megfigyeljük, hogy mik az osztói:

  • 35 osztói → 35,7,5,1
  • 15 → 15,5,3,1 osztói

Ezért a 35 és 15 legnagyobb közös tényezője 5.

Érdemes megemlíteni, hogy ha két szám közös osztója csak 1 és -1, akkor ezeket "egymás prímjének" nevezzük.

A legnagyobb közös osztó kiszámításának módszerei

A következő három módszert különböztethetjük meg a legnagyobb közös osztó kiszámításához:

  • Felbontás prímtényezőkre: A számokat prímszámokra bontjuk. Ezután a GCF kiszámításához a közös számokat a legkisebb hatványra emeljük. Tegyük fel például, hogy van 216 és 156:

216/2 = 108

108/2 = 54

54/2 = 27

27/3 = 9

9/3 = 3

3/3 = 1

216 = (3 ^ 3) * (2 ^ 3)

156/2 = 78

78/2 = 39

39/3 = 13

13/13 = 1

156 = 13 * 3 * (2 ^ 2)

Ezért a két szám legnagyobb közös osztója a következő lenne: (2 ^ 2) * 3 = 12

Most tegyük fel, hogy három elemünk van: 315, 441 és 819

315 = (3 ^ 2) * 7 * 5

441 = (3 ^ 2) * (7 ^ 2)

819 = (3 ^ 2) * 7 * 13

Ezután, miután szétbontottuk őket, minden osztót a legkisebb hatványukkal figyelembe véve, az eredmény a következő lenne:

GCF = (3 ^ 2) * 7 = 63

  • Euklideszi algoritmus: elosztjuk a b-vel, megkapjuk a hányados c és r. Tehát a és b legnagyobb közös osztója megegyezik b és r legnagyobb közös osztójával. Ez a következõk alapján: a = bc + r . A jobb megértéshez alkalmazzuk ezt a módszert a korábban 216-tal és 156-tal bemutatott példára.

216/156 = 1, a maradék 60

most elosztjuk 156/60 = 2-t a maradék 36-tal

A 60/36 = 1-et ismét elosztjuk a maradék 24-gyel

Még egyszer elosztjuk a 36/24 = 1-et a maradék 12-vel

És végül elosztjuk a 24/12 = 2-t a maradék 0-val

Ezért a legnagyobb közös osztó a 12. Amint látjuk, addig kell osztanunk, amíg a maradék 0 nem lesz, és az utolsó osztó a GCF lesz.

  • A legkisebb közös többszörös alapján : A számokat megszorozzák, és az eredményt elosztják a legkisebb közös többszörösükkel (LCM).
Mcd 1

Emlékeznünk kell arra, hogy a legkisebb közös többszörös (LCM) az a legkisebb szám, amely teljesíti azt a feltételt, hogy egy számhalmaz összes elemének többszöröse.

Azaz, visszatérve ugyanarra a példára, a következőképpen bonthatjuk fel:

216 = (3 ^ 3) * (2 ^ 3) és 156 = 13 * 3 * (2 ^ 2) 204 = 3 * (2 ^ 2) * 17 168 = 3 * (2 ^ 3) * 7

A legkisebb közös többszörös a következő lenne: (3 ^ 3) * (2 ^ 3) * 13 * 17 * 7 = 334,152

Tehát: GCD = 216 * 156 / 2,808 = 12

Érdemes megemlíteni, hogy ez a módszer csak két szám esetén működik.

Tizedes számok és törtek

  • Maximum (matematika)
  • Egy szám származéka
  • Osztály