Inflexiós pont

A matematikai függvény inflexiós pontja az a pont, ahol az azt ábrázoló gráf a homorúságát megváltoztatja. Vagyis homorúból domborúvá válik, vagy fordítva.

Inflexiós pont

Más szóval az inflexiós pont az a pillanat, amikor a függvény trendjét megváltoztatja.

Az ötlethez kezdjük azzal, hogy egy grafikus ábrázolásban nézzük meg, nagyjából:

Inflexiós pont 1 1

Megjegyzendő, hogy egy függvénynek több inflexiós pontja is lehet, vagy egyáltalán nem is lehet. Például egy vonalnak nincs inflexiós pontja.

Nézzünk meg egy példát a következő grafikonon egy több inflexiós ponttal rendelkező függvényre:

Fordulópontok

Ezenkívül matematikai értelemben az inflexiós pontot úgy számítjuk ki, hogy a függvény második deriváltját nullára állítjuk. Így megoldjuk ennek az egyenletnek a gyökét (vagy gyökereit), és Xi-nek nevezzük.

Ezután helyettesítjük Xi-t a függvény harmadik deriváltjában. Ha az eredmény eltér nullától, akkor inflexiós ponttal állunk szemben.

Ha azonban az eredmény nulla, akkor az egymást követő deriváltokban cserélnünk kell, amíg ennek a deriváltnak az értéke, legyen az harmadik, negyedik vagy ötödik, eltér 0-tól. Ha a derivált páratlan, akkor inflexiós pont, de ha még nem is.

Példa a fordulópontra

Ezután nézzünk egy példát.

Tegyük fel, hogy a következő függvényünk van:

y = 2x 4 + 5x 3 + 9x + 14

y „= 8x 3 + 15x 2 +9

y »= 24x 2 + 30x = 0

24x = -30

Xi = -1,25

Ezután lecseréljük Xi-t a harmadik származékban:

y »’= 48x

y »’= 48x-1,25 = -60

Mivel az eredmény különbözik a nullától, egy inflexiós pont előtt találjuk magunkat, amely akkor lenne, ha x egyenlő -1,25 és y egyenlő -2,1328-cal, amint azt a következő grafikonon szemléltetjük.

Ebben megfigyelhető, hogy a függvénynek van egy inflexiós pontja:

Inflexiós pont

Most nézzünk egy másik példát:

y = x 4 -54x 2

y „= 4x 3 -108x

y »= 12x 2 -108 = 0

x 2 = 9

Xi = 3 és -3

Ezután lecseréljük a harmadik származékban található két gyöket:

y »’= 24x

y »’= 24 × 3 = 72

y »’= 24x-3 = -72

Mivel az eredmény nem nulla, két inflexiós pontunk van a (3567) és a (-3567) pontoknál.

Az információk kiegészítéseként kérjük, látogassa meg az inflexiós cikket, ahol általánosabban foglalkozunk ezzel a fogalommal: