Antiszimmetrikus mátrix

Antiszimmetrikus mátrix

Tükör 1

Az antiszimmetrikus mátrix olyan négyzetes mátrix, ahol a főátlón kívüli elemek szimmetrikusan egyenlőek, de a főátló alattiak negatív előjelet hordoznak.

Más szavakkal, az antiszimmetrikus mátrix egy olyan mátrix, amelynek ugyanannyi sora (n) és oszlopa (m) van, és a főátló mindkét oldalán lévő elemek kiegészítik egymást.

Mivel a főátló feletti és alatti elemek el vannak tolva, a főátlón lévő elemek nullák.

Ajánlott cikk: nem szimmetrikus mátrix és szimmetrikus mátrix.

Az antiszimmetrikus mátrix jellemzői

Az antiszimmetrikus mátrix jellemzői:

  • Négyzetes mátrix.
  • Szimmetrikus mátrix + negatív előjel (-) a főátló alatti elemekben.
  • A főátló elemei nullák (0).

Antiszimmetrikus mátrix

Adott egy AS négyzetmátrix,

Antiszimmetrikus mátrix 1
Antiszimmetrikus mátrix

Láthatjuk, hogyan jelennek meg ugyanazok az elemek a főátló mindkét oldalán, de azzal a különlegességgel, hogy a főátló alatti elemek előtt negatív előjel van. Ezenkívül a főátló nullákból áll.

Az antiszimmetrikus mátrix és a tükrök

A szimmetrikus mátrixhoz hasonlóan az antiszimmetrikus mátrix is ​​megérthető a tükör példáján keresztül.

Tükör 1
Tükör

Ha megnézzük magunkat a tükörben, és felemeljük a jobb karunkat, látni fogjuk, hogy a tükörben lévő személy felemeli a bal karját. Más szóval, a tükör mozgása kiegészíti a miénket, és ezért mindkettő összege nullát eredményezne.

A fenti gondolatot a következőképpen fejezhetjük ki, és következtethetünk:

(Emelje fel a jobb kezét) (Emelje fel a bal kezét) = 0

(Emelje fel a jobb kezét) = (Emelje fel a bal kezét)

A főátló tükörként működik, és a főátló mindkét oldalán ellentétes elemeket látunk. A semleges függvény (=) a főátlóra vonatkozik.

Ingatlan

  • Az antiszimmetrikus mátrix transzponált mátrixa egyenlő az antiszimmetrikus mátrix szorzatával (-1).

Más szavakkal, ez olyan, mintha egy negatív előjelet adnánk az antiszimmetrikus mátrix elé.

Matematikailag

1. antiszimmetrikus mátrix tulajdonság
Az antiszimmetrikus mátrix tulajdonságai

Láthatjuk, hogy mindkét eljárással ugyanarra az eredményre jutunk: a mátrixot transzponáljuk, vagy az antiszimmetrikus mátrixot (-1) megszorozzuk.

Nem szimmetrikus mátrix vs antiszimmetrikus mátrix vs szimmetrikus mátrix

A tükör példája a szimmetrikus mátrix esetében elég, ha ugyanazt a mozgást tükrözi, vagyis ha felemelünk egy kart, akkor láthatunk egy felemelt kart, de nem szükséges megadni, hogy mi az. Az antiszimmetrikus mátrix esetében ellenőriznünk kell, melyik kart látjuk a tükörben, és meg kell határoznunk, hogy antiszimmetrikus mátrix-e.

Ha felemeljük a karunkat, és a tükörben azt látjuk, hogy…

  • Ugyanaz a kar felemelkedik, a tükörben lévő személy szemszögéből, akkor szimmetrikus mátrix.
  • A szemközti kar felemelkedik, a tükörben lévő személy szempontjából, akkor ez egy antiszimmetrikus mátrix.
  • Ha a tükörben lévő személy szempontjából egyetlen kar sem, vagy egynél több van felemelve, akkor ez egy nem szimmetrikus mátrix.

Mátrix felosztás

  • Cholesky-bomlás
  • Főátló
  • Csatolt mátrix