Az inverz mátrix egy mátrix lineáris transzformációja a mátrix determinánsának inverzének megszorzásával a transzponált adjunkt mátrixszal.
Más szavakkal, az inverz mátrix a determináns inverzének szorzata a transzponált adjunkt mátrixszal.
Ajánlott cikkek: mátrix determinánsa, négyzetmátrix, főátló és műveletek mátrixokkal.
Adott bármely olyan X mátrix
2-es rendű mátrix inverz mátrix képlete
Ekkor X inverz mátrixa lesz
Ezzel a képlettel megkapjuk egy 2-es rendű négyzetmátrix inverz mátrixát.
A fenti képlet a mátrix determinánsával is kifejezhető.
2-es rendű mátrix inverz mátrix képlete
Az X körüli két párhuzamos egyenes a nevezőben azt jelzi, hogy ez az X mátrix determinánsa.
Ha egy négyzetes mátrixnak van inverz mátrixa, akkor azt mondjuk, hogy reguláris mátrix.
Követelmények
Egy n rendű mátrix inverz mátrixának megtalálásához a következő követelményeknek kell megfelelnünk:
- A mátrixnak négyzetes mátrixnak kell lennie.
A sorok számának (n) meg kell egyeznie az oszlopok számával (m). Vagyis a mátrix sorrendjének n-nek kell lennie, ha n = m.
- A determináns nem lehet nulla (0).
A mátrix determinánsának nullától eltérőnek (0) kell lennie, mivel nevezőként vesz részt a képletben. Ha a nevező nulla (0), akkor határozatlanságunk lenne.
Ha a nevező (ad – bc) = 0, azaz az X mátrix determinánsa nulla (0), akkor az X mátrixnak nincs inverz mátrixa.
Ingatlan
Egy n rendű X négyzetmátrixnak lesz egy n, X -1 rendű X inverz mátrixa úgy, hogy kielégíti, hogy
A szorzás elemeinek sorrendje nem releváns, azaz bármely négyzetmátrix inverz mátrixával való szorzása mindig azonos sorrendű azonosságmátrixot eredményez.
Ebben az esetben az X mátrix sorrendje 2. Tehát az előző tulajdonságot átírhatjuk így:
Gyakorlati példa
Keresse meg az V mátrix inverz mátrixát!
A példa megoldásához alkalmazhatjuk a képletet, vagy először kiszámíthatjuk a determinánst, majd behelyettesíthetjük.
Képlet
Képlet determinánssal
Először kiszámoljuk a V mátrix determinánsát, majd behelyettesítjük a képletbe.
Ekkor megkapjuk, hogy a V mátrix determinánsa különbözik nullától (0), és azt mondhatjuk, hogy a V mátrixnak van inverz mátrixa.
Ugyanezt az eredményt kapjuk a képlet segítségével, vagy először a determináns kiszámításával, majd behelyettesítésével.
Az inverz mátrix sorrendje megegyezik az eredeti mátrix sorrendjével. Ebben az esetben ugyanannyi n sorunk és m oszlopunk lesz mind a V, mind a V -1 mátrixban.
Mátrix felosztás