Točka pregiba

Prevojna točka matematičke funkcije je ona točka u kojoj graf koji je predstavlja mijenja svoju konkavnost. Odnosno, prelazi iz konkavne u konveksnu, ili obrnuto.

Točka pregiba

Drugim riječima, točka infleksije je onaj trenutak kada funkcija mijenja trend.

Da biste dobili ideju, počnimo gledajući to u grafičkom prikazu, otprilike:

Prelomna točka 1 1

Treba napomenuti da funkcija može imati više od jedne infleksne točke ili ih uopće ne imati. Na primjer, linija nema prevojnu točku.

Pogledajmo, na sljedećem grafikonu, primjer funkcije s više od jedne točke pregiba:

Prekretnice

Također, u matematičkom smislu, točka infleksije se izračunava postavljanjem druge derivacije funkcije jednakom nuli. Dakle, rješavamo korijen (ili korijene) te jednadžbe i nazvat ćemo ga Xi.

Zatim zamjenjujemo Xi u trećoj derivaciji funkcije. Ako je rezultat drugačiji od nule, suočeni smo s točkom preloma.

Međutim, ako je rezultat nula, moramo zamijeniti uzastopne derivacije, sve dok vrijednost ove derivacije, bilo treće, četvrte ili pete, ne bude drugačija od 0. Ako je derivacija neparna, to je prijelomna točka, ali ako čak je i ne.

Primjer prekretnice

Dalje, pogledajmo primjer.

Pretpostavimo da imamo sljedeću funkciju:

y = 2x 4 + 5x 3 + 9x + 14

y ‘= 8x 3 + 15x 2 +9

y »= 24x 2 + 30x = 0

24x = -30

Xi = -1,25

Zatim zamjenjujemo Xi u trećoj izvedenici:

y »’= 48x

y »’= 48x-1,25 = -60

Kako je rezultat različit od nule, nalazimo se ispred točke pregiba koja bi bila kada je x jednak -1,25, a y jednak -2,1328, kao što je prikazano na sljedećem grafikonu.

Pri tome se uočava da funkcija ima prevojnu točku:

Točka pregiba

Sada, pogledajmo još jedan primjer:

y = x 4 -54x 2

y ‘= 4x 3 -108x

y »= 12x 2 -108 = 0

x 2 = 9

Xi = 3 i -3

Zatim zamjenjujemo dva korijena koja se nalaze u trećoj izvedenici:

y »’= 24x

y »’= 24 × 3 = 72

y »’= 24x-3 = -72

Budući da je rezultat različit od nule, imamo dvije točke pregiba na (3,567) i (-3,567).

Kako bismo nadopunili informacije, pozivamo vas da posjetite inflekcijski članak, gdje ovaj koncept pokrivamo na općenitiji način: