Simetrična matrica

Simetrična matrica je matrica reda n s istim brojem redaka i stupaca gdje je njena transponirana matrica jednaka izvornoj matrici.

Drugim riječima, simetrična matrica je kvadratna matrica i identična je matrici nakon što je zamijenila retke za stupce i stupce za retke.

Zahtjevi

Da bi bilo koja matrica bila simetrična matrica, mora zadovoljiti sljedeća ograničenja:

Zadana simetrična matrica P reda n,

• Budi kvadratna matrica .

Broj redaka (n) mora biti isti kao i broj stupaca (m). To jest, redoslijed matrice mora biti n s obzirom da je n = m.

• Izvorna matrica mora biti jednaka njezinoj transponiranoj matrici .

Demonstracija:

Svojstva

• Pridružena matrica simetrične matrice je također simetrična matrica.

Demonstracija:

• Zbrajanjem ili oduzimanjem dvije simetrične matrice nastaje još jedna simetrična matrica.

Demonstracija:

S obzirom na dvije simetrične matrice P i T reda 3, iz zbroja dobivamo drugu simetričnu matricu S.

Zašto se zove simetrična matrica?

Svojstvo simetrije daju elementi oko glavne dijagonale. Budući da je kvadratna matrica simetrična matrica, uvijek će imati isti broj elemenata iznad i ispod glavne dijagonale. Ovi elementi su simetrično isti. To jest, glavna dijagonala djeluje kao ogledalo.

Dokaz simetrije i iskrivljenosti matrice

Simetrična matrica

Slovo d predstavlja elemente glavne dijagonale. Ostala slova predstavljaju bilo koji realni broj. Vidimo da glavna dijagonala djeluje poput ogledala: odražava elemente s obje strane. Drugim riječima, kada su elementi s obje strane dijagonale simetrično jednaki, kažemo da je matrica P simetrična matrica.

Nesimetrična matrica

Matrica X nije simetrična matrica jer nije kvadratna matrica i njena transponirana matrica se razlikuje od izvorne matrice. Osim toga, nema ni glavnu dijagonalu.