Inverzna matrica je linearna transformacija matrice množenjem inverza determinante matrice s transponiranom adjunktnom matricom.
Drugim riječima, inverzna matrica je množenje inverzne determinante transponiranom pridruženom matricom.
Preporučeni članci: determinanta matrice, kvadratna matrica, glavna dijagonala i operacije s matricama.
S obzirom na bilo koju matricu X takvu da
Formula inverzne matrice matrice reda 2
Tada će inverzna matrica od X biti
Pomoću ove formule dobivamo inverznu matricu kvadratne matrice reda 2.
Gornja formula se također može izraziti determinantom matrice.
Formula inverzne matrice matrice reda 2
Dvije paralelne linije oko X u nazivniku ukazuju da je to determinanta matrice X.
Kada kvadratna matrica ima inverznu matricu, kažemo da je regularna matrica.
Zahtjevi
Da bismo pronašli inverznu matricu matrice reda n, moramo ispuniti sljedeće zahtjeve:
- Matrica mora biti kvadratna matrica.
Broj redaka (n) mora biti isti kao i broj stupaca (m). To jest, redoslijed matrice mora biti n s obzirom da je n = m.
- Determinanta mora biti različita od nule (0).
Determinanta matrice mora biti različita od nule (0) budući da sudjeluje u formuli kao nazivnik. Da je nazivnik nula (0) imali bismo neodređenost.
Ako je nazivnik (ad – bc) = 0, odnosno determinanta matrice X jednaka nuli (0), tada matrica X nema inverznu matricu.
Vlasništvo
Kvadratna matrica X reda n imat će inverznu matricu X reda n, X -1 , takvu da zadovoljava da
Redoslijed elemenata množenja nije relevantan, odnosno množenje bilo koje kvadratne matrice njenom inverznom matricom uvijek će rezultirati matricom identiteta istog reda.
U ovom slučaju, redoslijed matrice X je 2. Dakle, možemo prepisati prethodno svojstvo kao:
Praktični primjer
Pronađite inverznu matricu matrice V.
Za rješavanje ovog primjera možemo primijeniti formulu ili prvo izračunati determinantu, a zatim je zamijeniti.
Formula
Formula s determinantom
Prvo izračunamo determinantu matrice V, a zatim je zamijenimo u formulu.
Tada dobivamo da je determinanta matrice V različita od nule (0) i možemo reći da matrica V ima inverznu matricu.
Isti rezultat dobivamo koristeći formulu ili prvo izračunajući determinantu, a zatim je zamijenimo.
Redoslijed inverzne matrice je isti kao i redoslijed izvorne matrice. U ovom slučaju imat ćemo isti broj redaka n i stupaca m i u matrici V i V -1 .
Matrična podjela