Antisimetrična matrica

Antisimetrična matrica

Ogledalo 1

Antisimetrična matrica je kvadratna matrica u kojoj su elementi izvan glavne dijagonale simetrično jednaki, ali oni ispod glavne dijagonale nose negativan predznak.

Drugim riječima, antisimetrična matrica je matrica koja ima isti broj redaka (n) i stupaca (m), a elementi s obje strane glavne dijagonale su komplementarni.

Budući da su elementi iznad i ispod glavne dijagonale pomaknuti, elementi na glavnoj dijagonali su nule.

Preporučeni članak: nesimetrična matrica i simetrična matrica.

Karakteristike antisimetrične matrice

Karakteristike antisimetrične matrice su:

  • Kvadratna matrica.
  • Simetrična matrica + negativni predznak (-) u elementima ispod glavne dijagonale.
  • Elementi glavne dijagonale su nule (0).

Antisimetrična matrica

Zadana je kvadratna matrica AS ,

Antisimetrična matrica 1
Antisimetrična matrica

Vidimo kako se isti elementi pojavljuju s obje strane glavne dijagonale, ali s tim da elementi ispod glavne dijagonale ispred imaju negativan predznak. Također, glavna dijagonala je sastavljena od nula.

Antisimetrična matrica i zrcala

Na isti način kao i simetrična matrica, antisimetrična matrica se također može razumjeti kroz primjer zrcala.

Ogledalo 1
Ogledalo

Ako se pogledamo u ogledalo i podignemo desnu ruku, vidjet ćemo da osoba u zrcalu podiže lijevu ruku. Drugim riječima, kretanje zrcala nadopunjuje naše i stoga bi zbroj oba rezultirao nulom.

Gornju ideju možemo izraziti na sljedeći način i zaključiti:

(Podignite desnu ruku) (Podignite lijevu ruku) = 0

(Podigni desnu ruku) = (Podigni lijevu ruku)

Glavna dijagonala djeluje kao ogledalo i vidimo suprotne elemente s obje strane glavne dijagonale. Neutralna funkcija (=) preslikava se na glavnu dijagonalu.

Vlasništvo

  • Transponirana matrica antisimetrične matrice jednaka je antisimetričnoj matrici pomnoženoj s (-1).

Drugim riječima, to bi bilo kao dodavanje negativnog predznaka ispred antisimetrične matrice.

Matematički,

Svojstvo antisimetrične matrice 1
Svojstvo antisimetrične matrice

Možemo vidjeti da s oba postupka dolazimo do istog rezultata: izvođenje transponirane matrice ili množenje s (-1) antisimetrične matrice.

Nesimetrična matrica vs antisimetrična matrica vs simetrična matrica

Primjer zrcala u slučaju simetrične matrice dovoljan je da odražava isti pokret, odnosno ako podignemo ruku, možemo vidjeti podignutu ruku ali nije potrebno precizirati o čemu se radi. U slučaju antisimetrične matrice trebamo provjeriti koji krak vidimo u zrcalu i utvrditi radi li se o antisimetričnoj matrici.

Ako podignemo ruku i u ogledalu vidimo da…

  • Ista ruka je podignuta, s gledišta osobe u ogledalu, tada je to simetrična matrica.
  • Suprotna ruka je podignuta, s gledišta osobe u ogledalu, tada je to antisimetrična matrica.
  • Ako nijedna ruka nije podignuta ili je podignuto više od jedne, s gledišta osobe u zrcalu, onda je to nesimetrična matrica.

Matrična podjela

  • Cholesky dekompozicija
  • Priložena matrica
  • Glavna dijagonala