Matrice transposée

Matrice transposée

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Une matrice transposée est le résultat de la réorganisation de la matrice d’origine en changeant les lignes par colonnes et les colonnes par lignes dans une nouvelle matrice.

En d’autres termes, la matrice transposée est l’action de sélectionner les lignes de la matrice d’origine et de les réécrire en colonnes dans la nouvelle matrice et d’inverser le processus pour les colonnes.

Généralement, lorsque nous modifions les lignes pour les colonnes et les colonnes pour les lignes, nous l’indiquons en ajoutant un exposant T ou une apostrophe dans le nom de la matrice d’origine. Si nous ajoutons l’exposant T, nous devons garder à l’esprit que nous travaillons avec des matrices et que l’exposant n’est pas un exposant.

Article recommandé : opérations avec des matrices.

Formule d’une matrice transposée nxm

Étant donné une matrice Z quelconque avec n lignes et m colonnes, nous pouvons construire la matrice transposée, Z T , qui aura m lignes et n colonnes.

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Transposition de la matrice Z.

Transposition d’une matrice carrée

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Cas général de transposition de la matrice Z d’ordre 3.

Selon la typologie de la matrice, l’ordre de la matrice changera également lors de sa transposition.

Propriétés

Étant donné la matrice Z ci-dessus,

  • La transposée d’une matrice transposée est la matrice d’origine.
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  • La somme transposée des matrices est égale à la somme des matrices transposées.
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  • Le produit transposé d’une constante h par une matrice est égal au produit de la constante h par la matrice transposée.
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  • Le produit transposé de la multiplication matricielle est égal au produit de la multiplication matricielle transposée.
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Applications

Les matrices transposées sont plus présentes qu’on ne le pense. En économétrie on trouve des transpositions quand on exprime les matrices sous forme quadratique. De même, la formule de l’estimateur des moindres carrés ordinaires (MCO) sous forme matricielle :

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Formule d’estimateur OLS sous forme matricielle.

Exemple théorique

Trouvez la matrice de transposition des matrices suivantes :

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Transposition matricielle.

Division matricielle

  • Matrice régulière
  • Matrice non symétrique
  • Matrice inverse d’ordre 2