Matrice symétrique

Matrice symétrique

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Une matrice symétrique est une matrice d’ordre n avec le même nombre de lignes et de colonnes où sa matrice transposée est égale à la matrice d’origine.

En d’autres termes, une matrice symétrique est une matrice carrée et est identique à la matrice après avoir permuté les lignes contre les colonnes et les colonnes contre les lignes.

Conditions

Pour qu’une matrice soit une matrice symétrique, elle doit respecter les restrictions suivantes :

Étant donné une matrice symétrique P d’ordre n,

  • Soit une matrice carrée .

Le nombre de lignes (n) doit être le même que le nombre de colonnes (m). C’est-à-dire que l’ordre de la matrice doit être n étant donné que n = m.

  • La matrice d’origine doit être égale à sa matrice transposée .
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La matrice d’origine doit être égale à sa matrice transposée.

Manifestation:

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La matrice transposée d’une matrice symétrique est égale à la matrice symétrique d’origine.

Propriétés

  • La matrice adjointe d’une matrice symétrique est aussi une matrice symétrique.
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La matrice adjointe d’une matrice symétrique est aussi une matrice symétrique.

Manifestation:

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La matrice adjointe d’une matrice symétrique est aussi une matrice symétrique.
  • L’addition ou la soustraction de deux matrices symétriques donne une autre matrice symétrique.

Manifestation:

Étant donné deux matrices symétriques P et T d’ordre 3, on obtient une autre matrice symétrique S à partir de la somme.

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La somme de deux matrices symétriques donne une autre matrice symétrique.

Pourquoi l’appelle-t-on matrice symétrique ?

La propriété de symétrie est donnée par les éléments autour de la diagonale principale. Puisqu’une matrice carrée est une matrice symétrique, elle aura toujours le même nombre d’éléments au-dessus et en dessous de la diagonale principale. Ces éléments sont les mêmes symétriquement. C’est-à-dire que la diagonale principale agit comme un miroir.

Preuve de symétrie et d’asymétrie d’une matrice

Matrice symétrique

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Matrice symétrique d’ordre 3.

La lettre d représente les éléments de la diagonale principale. Les autres lettres représentent n’importe quel nombre réel. On voit que la diagonale principale agit comme un miroir : elle reflète les éléments des deux côtés. En d’autres termes, lorsque les éléments de part et d’autre de la diagonale sont symétriquement égaux, on dit que la matrice P est une matrice symétrique.

Matrice non symétrique

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Matrice non symétrique de dimension 2 × 3.

La matrice X n’est pas une matrice symétrique car ce n’est pas une matrice carrée et sa matrice transposée est différente de la matrice d’origine. De plus, il n’a pas non plus de diagonale principale.

Matrice non symétrique

  • Matrice antisymétrique
  • Diagonale principale
  • Matrice inverse d’ordre 2