Une matrice régulière d’ordre n est une matrice qui a le même nombre de lignes et de colonnes et son déterminant est non nul (0).
Autrement dit, une matrice régulière d’ordre n est une matrice carrée à partir de laquelle on peut obtenir la matrice inverse.
Formule matricielle régulière
Étant donné une matrice V avec le même nombre de lignes (n) et de colonnes (m), c’est-à-dire m = n, et avec un déterminant (0) non nul, alors on dit que V est une matrice régulière d’ordre n.
Application
La matrice régulière est utilisée comme étiquette pour les matrices qui remplissent les conditions pour avoir une matrice inverse.
- La matrice est une matrice carrée.
Le nombre de lignes (n) doit être le même que le nombre de colonnes (m). C’est-à-dire que l’ordre de la matrice doit être n étant donné que n = m.
- La matrice a un déterminant et celui-ci est différent de zéro (0).
Le déterminant de la matrice doit être différent de zéro (0) car il est utilisé comme dénominateur dans la formule matricielle inverse.
Exemple théorique
La matrice D est-elle une matrice carrée et inversible ?
- Nous vérifions si la matrice D remplit les conditions pour être une matrice régulière.
- La matrice D est-elle une matrice carrée ?
Le nombre de colonnes dans la matrice D est différent du nombre de lignes puisqu’il y a 2 lignes et 3 colonnes. Par conséquent, la matrice D n’est pas une matrice carrée, ni une matrice régulière.
La première condition pour être une matrice régulière (condition de matrice carrée) est une condition nécessaire et suffisante car si elle n’est pas remplie cela implique directement que la matrice n’est pas une matrice régulière et donc on ne pourra pas calculer son déterminant.
- La matrice D est-elle inversible ?
Puisque la matrice D n’est pas carrée, nous ne pouvons pas calculer son déterminant et décider s’il est différent ou égal à zéro (0).
Exemple pratique
Matrice régulière d’ordre 2
La matrice U est-elle une matrice carrée et inversible ?
- Nous vérifions si la matrice U remplit les conditions pour être une matrice régulière.
- La matrice U est-elle une matrice carrée ?
Le nombre de lignes et le nombre de colonnes correspondent dans la matrice U. La matrice U est donc une matrice carrée d’ordre 2.
- La matrice U est-elle inversible ?
Nous devrons d’abord calculer le déterminant de la matrice puis vérifier qu’il est différent de zéro (0).
- Déterminant de la matrice U :
- Vérifier que la matrice U est inversible :
La matrice U est donc une matrice régulière puisque c’est une matrice carrée et inversible.
Matrice Carrée