Matrice d’identité

Matrice d'identité

Matrice d'identité

Une matrice identité ou unité d’ordre n est une matrice carrée où tous ses éléments sont des zéros (0) moins les éléments de la diagonale principale qui sont des uns (1).

En d’autres termes, une matrice identité n’a que des uns (1) sur la diagonale principale et tous les autres éléments de la matrice avec des zéros (0). De plus, la matrice identité est reconnue comme ayant une forme carrée puisqu’il s’agit d’une matrice carrée.

Représentation d’une matrice identitaire

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Exemples de matrices d’identité

Nous pouvons créer des combinaisons infinies de matrices unitaires tant que nous respectons la condition d’être une matrice carrée : avoir le même nombre de lignes (n) et de colonnes (m).

Propriétés

Lorsque nous effectuons des opérations avec la matrice unitaire, nous ne devons pas nous énerver. Nous devons considérer la matrice d’identité comme le numéro un (1).

Numéro 1

  • Lorsque nous multiplions par un (1) tout autre nombre, nous nous retrouvons avec le même nombre ( neutralité ). Étant donné un z constant ou un scalaire quelconque :
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Effet neutre de la multiplication d’une constante par le nombre un (1).
  • Si nous faisons l’inverse du nombre un (1), nous obtiendrons le même nombre un (1) ( inversible ).
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Effet neutre de faire l’inverse du nombre un (1).
  • Lorsque nous élevons les unités numéro un (1) h, nous aurons toujours le numéro un (1) ( idempotency ).
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Effet neutre de l’élévation du nombre un (1) à une constante h.

Matrice d’identité

  • Neutralité Lorsque la matrice unitaire participe à une multiplication de matrices, on parle de produit neutre. Étant donné une matrice Z :
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Effet neutre de la multiplication de la matrice identité par n’importe quelle matrice.
  • Réversible . La matrice inverse de la matrice unitaire est la matrice identité :
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Effet neutre de l’inversion de la matrice d’identité.
  • Idempotence . La matrice inverse élevée h unités (nombre naturel) est toujours la matrice unitaire :
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Effet neutre de l’augmentation de la matrice identité de h unités.

Procédure pour identifier une matrice d’identité

  1. La matrice doit être une matrice carrée.
  2. La matrice doit avoir des uns (1) sur la diagonale principale et des zéros (0) dans les autres positions.

Applications

La matrice identité participe autant de fois que le nombre un (1) participe à l’algèbre. Par exemple, lorsque nous multiplions n’importe quelle matrice avec sa matrice inverse, nous obtenons la matrice unitaire.

Exemple théorique

Les matrices suivantes sont-elles des matrices d’identité ?

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Exemples de matrices d’identité et de matrices de non-identité.

Matrice IA :

  • Matrice Carrée.
  • Matrice de non-identité : sur la diagonale principale il y a un nombre autre que un (1) et dans les autres positions il y a un nombre autre que zéro (0).

Matrice IB :

  • Pas de matrice carrée.
  • Pas de matrice d’identité.

Matrice IC :

  • Pas de matrice carrée.
  • Pas de matrice d’identité.

Identifiant de la matrice :

  • Matrice Carrée.
  • Matrice d’identité : dans la diagonale principale il y a des uns (1) et dans les autres positions il y a des zéros (0).

Matrice IE :

  • Matrice Carrée.
  • Pas de matrice d’identité : bien que dans les autres positions il y ait des zéros (0), dans la diagonale principale il y a un nombre autre qu’un (1).

Matrice Carrée

  • Division matricielle
  • Diagonale principale
  • Matrice antisymétrique