Matrice antisymétrique

Matrice antisymétrique

Miroir 1

Une matrice antisymétrique est une matrice carrée où les éléments en dehors de la diagonale principale sont symétriquement égaux mais ceux en dessous de la diagonale principale portent un signe négatif.

En d’autres termes, une matrice antisymétrique est une matrice qui a le même nombre de lignes (n) et de colonnes (m) et les éléments de part et d’autre de la diagonale principale sont complémentaires.

Étant donné que les éléments au-dessus et au-dessous de la diagonale principale sont décalés, les éléments sur la diagonale principale sont des zéros.

Article recommandé : matrice non symétrique et matrice symétrique.

Caractéristiques de la matrice antisymétrique

Les caractéristiques d’une matrice antisymétrique sont :

  • Matrice Carrée.
  • Matrice symétrique + signe négatif (-) dans les éléments sous la diagonale principale.
  • Les éléments de la diagonale principale sont des zéros (0).

Matrice antisymétrique

Étant donné une matrice carrée AS ,

Matrice antisymétrique 1
Matrice antisymétrique

On peut voir comment les mêmes éléments apparaissent des deux côtés de la diagonale principale, mais avec la particularité que les éléments en dessous de la diagonale principale ont un signe négatif devant. De plus, la diagonale principale est composée de zéros.

La matrice et les miroirs antisymétriques

De la même manière que la matrice symétrique, la matrice antisymétrique peut également être comprise à travers l’exemple du miroir.

Miroir 1
Miroir

Si nous nous regardons dans le miroir et levons le bras droit, nous verrons que la personne dans le miroir lève le bras gauche. En d’autres termes, le mouvement du miroir est complémentaire au nôtre et, par conséquent, la somme des deux donnerait zéro.

On peut exprimer l’idée ci-dessus comme suit et en déduire :

(Lever la main droite ) (Lever la main gauche ) = 0

(Lever la main droite ) = (Lever la main gauche )

La diagonale principale agit comme un miroir et nous voyons des éléments opposés des deux côtés de la diagonale principale. La fonction neutre (=) correspond à la diagonale principale.

Biens

  • La matrice transposée d’une matrice antisymétrique est égale à la matrice antisymétrique multipliée par (-1).

En d’autres termes, ce serait comme ajouter un signe négatif devant la matrice antisymétrique.

Mathématiquement,

Propriété de matrice antisymétrique 1
Propriété de la matrice antisymétrique

On voit qu’avec les deux procédures on arrive au même résultat : faire transposer la matrice ou multiplier par (-1) la matrice antisymétrique.

Matrice non symétrique vs Matrice antisymétrique vs Matrice symétrique

L’exemple du miroir dans le cas de la matrice symétrique suffit pour qu’il reflète le même mouvement, c’est-à-dire que si on lève un bras, on peut voir un bras levé mais il n’est pas nécessaire de préciser de quoi il s’agit. Dans le cas de la matrice antisymétrique, nous devons vérifier quel bras nous voyons dans le miroir et déterminer s’il s’agit d’une matrice antisymétrique.

Si nous levons un bras et dans le miroir nous voyons que …

  • Le même bras est levé, du point de vue de la personne dans le miroir, alors c’est une matrice symétrique.
  • Le bras opposé est levé, du point de vue de la personne dans le miroir, alors c’est une matrice antisymétrique.
  • Si aucun bras n’est levé ou si plusieurs sont levés, du point de vue de la personne dans le miroir, alors il s’agit d’une matrice non symétrique.

Diagonale principale

  • Division matricielle
  • Matrice attachée
  • Décomposition de Cholesky