Diagonale principale

La diagonale principale d’une matrice carrée est une ligne droite imaginaire avec une pente négative qui commence dans le coin supérieur gauche et se termine dans le coin inférieur droit de la matrice.

Diagonale principale

En d’autres termes, la diagonale principale est une ligne droite inclinée que l’on peut tracer sur la matrice du premier élément au dernier.

Comme la diagonale principale n’est pas donnée par la matrice, on dit qu’elle est imaginaire. Ainsi, pour obtenir la ligne diagonale, nous devrons la dessiner physiquement ou mentalement au-dessus de la matrice.

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Représentation de la diagonale principale

Soit une matrice carrée Z :

Capture d'écran 2019 07 29 A Les 13.22.03
Matrice Carrée.

La diagonale principale de la matrice Z est :

Capture d'écran 2019 07 29 A Les 13.22.22
Matrice carrée avec la diagonale principale marquée en vert.

Dessiner la diagonale principale

Une exigence pour trouver à la fois la diagonale principale et la diagonale secondaire est que la matrice doit être une matrice carrée.

Comment se rappeler que la diagonale principale commence dans le coin supérieur gauche et non dans le coin inférieur droit (diagonale secondaire) ?

Eh bien, par exemple, nous pouvons rechercher des références en géométrie.

Si nous regardons la matrice Z , nous pouvons voir comment un triangle rectangle est formé où son hypoténuse (diagonale) est la diagonale principale de la matrice. Graphiquement:

Capture d'écran 2019 07 29 A Les 13.20.15
Triangle rectangle où son hypoténuse est la diagonale principale d’une matrice carrée.

De la partie analytique, on peut aussi rappeler que la diagonale principale est une droite qui a une pente négative. Ainsi, pour avoir une pente négative, la diagonale doit commencer en haut à gauche et se terminer en bas à droite. Graphiquement:

Capture d'écran 2019 07 29 à 13.00.24
Début et fin de la diagonale principale d’une matrice carrée.

Une fois la diagonale principale tracée, nous verrons que nous avons deux triangles symétriques au dessus et en dessous de la diagonale. Ce résultat est un signe que nous avons bien fait. Graphiquement:

Capture d'écran 2019 07 29 A Les 13.18.05
Triangles symétriques qui se forment lorsque la diagonale principale est dessinée dans une matrice carrée.

Applications

La diagonale principale est utilisée pour obtenir le déterminant de la matrice, la décomposition LU, la décomposition de Cholesky, la règle de Sarrus et d’autres méthodes.

Exemple théorique

Trouvez la diagonale principale des matrices suivantes :

Capture d'écran 2019 07 29 A Les 13.18.58
Tableaux.

Solution graphique :

Capture d'écran 2019 07 29 A Les 13.19.11
La diagonale principale est marquée en vert.

Solution analytique :

  • Matrice diagonale principale A : {2,28,1}.
  • Matrice diagonale principale B : {9; 5}.
  • Matrice diagonale principale C : ce n’est pas une matrice carrée et donc on ne peut pas trouver la diagonale principale.