Convexité d’une liaison

La convexité d’une obligation est la pente de la courbe qui relie le prix et la rentabilité. Mesure la variation de la durée de l’obligation résultant d’une variation de la rentabilité.

Convexité d'une liaison

Mathématiquement, il est exprimé comme la dérivée seconde de la courbe prix-rentabilité. La formule est la suivante :

La variation du prix d’une obligation en cas de variation des taux d’intérêt est la somme de la variation provoquée par la duration modifiée et de la variation provoquée par la convexité de l’obligation.

Si la convexité d’une obligation est égale à 100, le prix de l’obligation changera de 1 % supplémentaire pour chaque variation de 1 % des taux d’intérêt, en plus de celui calculé par la durée. Si la convexité d’une obligation est égale à zéro, le prix de l’obligation variera avec les variations des taux d’intérêt du montant motivé par la durée de l’obligation.

Relation convexité d’une obligation et durée d’une obligation

La convexité d’une obligation nous offre une mesure beaucoup plus précise des variations de prix-rendement d’une obligation. La durée d’une obligation suppose que la relation entre le prix et le rendement est constante. Cependant, la réalité est très différente. Ainsi, face à de faibles variations prix-rentabilité, la durée est une mesure acceptable. Mais pour des variations plus importantes, le calcul de la convexité devient essentiel.

Mathématiquement, cela peut sembler un peu abstrait. Puisqu’il est graphiquement beaucoup plus facile à comprendre, voyons-le représenté. Dans les deux graphiques suivants, nous voyons représentés à la fois la durée et la convexité.

Plus le rendement de l’obligation est bas, plus son prix est élevé. Et vice versa, plus la rentabilité de l’obligation est élevée, plus son prix est bas. Bien entendu, le prix ne change pas dans la même proportion si sa rentabilité passe de 10 à 12% que s’il passe de 1 à 2%. C’est ce que prend en compte la convexité. La durée suppose que le changement de prix est le même à chaque fois. Tandis que la convexité tient compte du fait que le changement de prix n’est pas constant. La différence entre la ligne bleue et la ligne orange est la convexité elle-même. La ligne orange est l’évolution du prix de l’obligation en tenant compte de la durée. Enfin, la ligne bleue représente les variations du prix de l’obligation en tenant compte de la duration et de la convexité.

Exemple de convexité d’une obligation

Nous avons une obligation dont l’échéance est de 10 ans. Le coupon est de 7 % et l’obligation a une valeur nominale de 100 euros. Le TRI du marché est de 5%. Ce qui signifie que les obligations aux caractéristiques similaires offrent un rendement de 5 %. Ou ce qui est le même 2% de moins. Le paiement du coupon est annuel.

Si le rendement de l’obligation passe de 7 % à 5 %, de combien change le prix de l’obligation ? Pour calculer la variation qu’aurait le prix en cas de variation du taux d’intérêt, nous aurons besoin des formules suivantes :

Calcul du prix de l’obligation :

Calcul de la durée du bonus :

Calcul de la durée modifiée :

Calcul de la convexité :

Calcul de la variation de la durée :

Calcul de la variation de convexité :

Calcul de la variation du prix de l’obligation :

Téléchargez le tableau excel pour voir tous les calculs détaillés

En utilisant les formules mentionnées ci-dessus, nous obtenons les données suivantes :

Prix ​​de l’obligation = 115,44

Durée = 7,71

Durée modifiée = 7,34

Convexité = 69,73

La variation de prix face à une baisse de 2% du rendement de l’obligation est de + 14,68% compte tenu de la duration. La variation du prix de l’obligation compte tenu de la convexité est de + 1,39%. Pour obtenir la variation totale du prix, nous devons additionner les deux variations. Le calcul montre que face à une baisse de 2% de cette obligation, le prix augmenterait de 16,07 %.