Symmetrinen matriisi

Symmetrinen matriisi

Kuvakaappaus 2019 09 23 A Les 16.23.40

Symmetrinen matriisi on kertaluvun n matriisi, jossa on sama määrä rivejä ja sarakkeita ja jonka transponoitu matriisi on yhtä suuri kuin alkuperäinen matriisi.

Toisin sanoen symmetrinen matriisi on neliömatriisi ja on identtinen matriisin kanssa sen jälkeen, kun rivit on vaihdettu sarakkeiksi ja sarakkeet riveiksi.

Vaatimukset

Jotta mikä tahansa matriisi olisi symmetrinen matriisi, sen on täytettävä seuraavat rajoitukset:

Annettu symmetrinen matriisi P , jonka kertaluku on n,

  • Ole neliömatriisi .

Rivien lukumäärän (n) on oltava sama kuin sarakkeiden lukumäärän (m). Toisin sanoen matriisin järjestyksen on oltava n, kun n = m.

  • Alkuperäisen matriisin on oltava yhtä suuri kuin sen transponoitu matriisi .
Kuvakaappaus 2019 09 23 A Les 11.32.56
Alkuperäisen matriisin on oltava yhtä suuri kuin sen transponoitu matriisi.

Esittely:

Kuvakaappaus 2019 09 23 A Les 16.04.36
Symmetrisen matriisin transponoitu matriisi on yhtä suuri kuin alkuperäinen symmetrinen matriisi.

Ominaisuudet

  • Symmetrisen matriisin adjointmatriisi on myös symmetrinen matriisi.
Kuvakaappaus 2019 09 23 A Les 11.49.59
Symmetrisen matriisin adjointmatriisi on myös symmetrinen matriisi.

Esittely:

Kuvakaappaus 2019 09 23 A Les 16.09.19
Symmetrisen matriisin adjointmatriisi on myös symmetrinen matriisi.
  • Kahden symmetrisen matriisin yhteen- tai vähennyslasku johtaa toiseen symmetriseen matriisiin.

Esittely:

Kun on annettu kaksi luokkaa 3 olevaa symmetristä matriisia P ja T , saadaan summasta toinen symmetrinen matriisi S.

Kuvakaappaus 2019 09 23 A Les 16.17.28
Kahden symmetrisen matriisin summa johtaa toiseen symmetriseen matriisiin.

Miksi sitä kutsutaan symmetriseksi matriisiksi?

Symmetrian ominaisuus saadaan päälävistäjän ympärillä olevista elementeistä. Koska neliömatriisi on symmetrinen matriisi, siinä on aina sama määrä elementtejä päädiagonaalin ylä- ja alapuolella. Nämä elementit ovat symmetrisesti samat. Eli päälävistäjä toimii peilinä.

Todiste matriisin symmetriasta ja vinoudesta

Symmetrinen matriisi

Kuvakaappaus 2019 09 23 klo 15.58.25
Symmetrinen matriisi, järjestys 3.

Kirjain d edustaa päädiagonaalin elementtejä. Muut kirjaimet edustavat mitä tahansa reaalilukua. Näemme, että päälävistäjä toimii kuin peili: se heijastaa elementtejä molemmilta puolilta. Toisin sanoen, kun diagonaalin molemmilla puolilla olevat alkiot ovat symmetrisesti yhtä suuret, sanotaan, että matriisi P on symmetrinen matriisi.

Epäsymmetrinen matriisi

Kuvakaappaus 2019 09 23 A Les 11.19.55
Epäsymmetrinen matriisi, jonka mitat ovat 2 × 3.

Matriisi X ei ole symmetrinen matriisi, koska se ei ole neliömatriisi ja sen transponoitu matriisi on erilainen kuin alkuperäinen matriisi. Lisäksi sillä ei ole myöskään päälävistäjää.

Epäsymmetrinen matriisi

  • Säännöllinen matriisi
  • Antisymmetrinen matriisi
  • Matriisijako