Suurin yhteinen jakaja (GCF)

Suurin yhteinen jakaja (GCF)

Suurin yhteinen jakaja

Suurin yhteinen jakaja (GCF) on suurin luku, jolla kaksi tai useampia lukuja voidaan jakaa. Tämä, jättämättä mitään jäämiä.

Toisin sanoen suurin yhteinen jakaja tai GCF on suurin luku, jolla lukujoukko voidaan jakaa, jolloin saadaan kokonaisluku.

Jakaja voidaan muodollisesti määritellä luvuksi, joka sisältyy toiseen täsmälleen n-kertaisen määrän.

On huomattava, että lukujen, joiden perusteella GCF lasketaan, on oltava eri kuin nolla.

Selvittääksemme sen paremmin, katsotaanpa esimerkkiä. Oletetaan, että meillä on 35 ja 15. Näin ollen tarkkailemme, mitkä kunkin jakajat ovat:

  • Jakajat 35 → 35,7,5,1
  • Jakajat 15 → 15,5,3,1

Siksi 35:n ja 15:n suurin yhteinen kerroin on 5.

On syytä mainita, että jos kahden luvun yhteiset jakajat ovat vain 1 ja -1, niitä kutsutaan "toistensa alkuluvuiksi".

Menetelmät suurimman yhteisen jakajan laskemiseksi

Voimme erottaa seuraavat kolme menetelmää suurimman yhteisen jakajan laskemiseksi:

  • Hajoaminen alkutekijöiksi: Luvut hajotetaan alkuluvuiksi. Sitten laskeaksemme GCF:n otamme yleiset luvut korotettuina pienimpään potenssiin. Oletetaan esimerkiksi, että meillä on 216 ja 156:

216/2 = 108

108/2 = 54

54/2 = 27

27/3 = 9

9/3 = 3

3/3 = 1

216 = (3 ^ 3) * (2 ^ 3)

156/2 = 78

78/2 = 39

39/3 = 13

13/13 = 1

156 = 13 * 3 * (2 ^ 2)

Siksi molempien lukujen suurin yhteinen jakaja olisi: (2 ^ 2) * 3 = 12

Oletetaan nyt, että meillä on kolme elementtiä: 315, 441 ja 819

315 = (3 ^ 2) * 7 * 5

441 = (3 ^ 2) * (7 ^ 2)

819 = (3 ^ 2) * 7 * 13

Sitten, kun ne on eritelty ja jokainen jakaja otetaan sen pienimmällä teholla, tulos olisi:

GCF = (3^2) * 7 = 63

  • Eukleideen algoritmi : Jakamalla a b:llä saadaan osamäärä c ja r . Joten a:n ja b: n suurin yhteinen jakaja on sama kuin b:n ja r:n jakaja. Tämä, kun otetaan huomioon seuraava: a = bc + r . Ymmärtääksemme sitä paremmin, sovelletaan tätä menetelmää aiemmin esitettyyn esimerkkiin 216:lla ja 156:lla.

216/156 = 1 ja loput 60

nyt jaetaan 156/60 = 2 ja loput 36

Jaamme 60/36 = 1 jälleen jäännöksellä 24

Jälleen kerran jaamme 36/24 = 1 jäännöksellä 12

Ja lopuksi jaetaan 24/12 = 2 jäännöksellä 0

Siksi suurin yhteinen jakaja on 12. Kuten näemme, meidän on jaettava, kunnes jäännös on 0 ja viimeinen jakaja on GCF.

  • Perustuu pienimpään yhteiseen kerrannaiseen : Luvut kerrotaan ja tulos jaetaan niiden pienimmällä yhteiskerralla (LCM).
Mcd 1

Meidän on muistettava, että pienin yhteinen monikerta (LCM) on pienin luku, joka täyttää ehdon olla lukujoukon kaikkien elementtien monikerta.

Eli palaamalla samaan esimerkkiin voimme hajottaa seuraavasti:

216 = (3 ^ 3) * (2 ^ 3) ja 156 = 13 * 3 * (2 ^ 2) 204 = 3 * (2 ^ 2) * 17 168 = 3 * (2 ^ 3) * 7

Pienin yhteinen kerrannainen olisi: (3 ^ 3) * (2 ^ 3) * 13 * 17 * 7 = 334,152

Joten: GCD = 216 * 156 / 2,808 = 12

On syytä mainita, että tämä menetelmä toimii vain kahdelle numerolle.

Maksimi (matemaattinen)

  • Jakokriteerit
  • Division
  • Yhteinen jakelu