Käänteismatriisi on matriisin lineaarinen muunnos kertomalla matriisin determinantin käänteisarvo transponoidulla adjointmatriisilla.
Toisin sanoen käänteismatriisi on determinantin käänteisen kertolasku transponoidulla adjointmatriisilla.
Suositeltavat artikkelit: matriisin determinantti, neliömatriisi, päädiagonaali ja operaatiot matriisien kanssa.
Jos mikä tahansa matriisi X on sellainen, että
2-kertaisen matriisin käänteismatriisikaava
Sitten X:n käänteimatriisi on
Tällä kaavalla saadaan 2-kertaisen neliömatriisin käänteismatriisi.
Yllä oleva kaava voidaan ilmaista myös matriisin determinantilla.
2-kertaisen matriisin käänteismatriisikaava
Kaksi yhdensuuntaista viivaa X:n ympärillä nimittäjässä osoittavat, että se on matriisin X determinantti.
Kun neliömatriisilla on käänteimatriisi, sanomme sen olevan säännöllinen matriisi.
Vaatimukset
Löytääksemme käänteisen matriisin kertaluvun n matriisille meidän on täytettävä seuraavat vaatimukset:
- Matriisin on oltava neliömatriisi.
Rivien lukumäärän (n) on oltava sama kuin sarakkeiden lukumäärän (m). Toisin sanoen matriisin järjestyksen on oltava n, kun n = m.
- Determinantin on oltava nollasta poikkeava (0).
Matriisin determinantin on oltava nollasta poikkeava (0), koska se osallistuu kaavaan nimittäjänä. Jos nimittäjä olisi nolla (0), meillä olisi epämääräisyys.
Jos nimittäjä (ad – bc) = 0, eli matriisin X determinantti on nolla (0), niin matriisilla X ei ole käänteismatriisia.
Omaisuus
Neliömatriisilla X, jonka kertaluku on n, on käänteismatriisi X, jonka kertaluku on n, X -1 , niin että se täyttää
Kertomassan elementtien järjestyksellä ei ole merkitystä, eli minkä tahansa neliömatriisin kertominen sen käänteismatriisilla johtaa aina saman järjestyksen identiteettimatriisiin.
Tässä tapauksessa matriisin X järjestys on 2. Voimme siis kirjoittaa edellisen ominaisuuden uudelleen seuraavasti:
Käytännön esimerkki
Etsi matriisin V käänteismatriisi.
Tämän esimerkin ratkaisemiseksi voimme soveltaa kaavaa tai ensin laskea determinantti ja sitten korvata sen.
Kaava
Kaava determinantilla
Laskemme ensin matriisin V determinantin ja korvaamme sen sitten kaavassa.
Sitten saadaan, että matriisin V determinantti on eri kuin nolla (0), ja voidaan sanoa, että matriisilla V on käänteinen matriisi.
Saman tuloksen saamme käyttämällä kaavaa tai laskemalla ensin determinantti ja sitten korvaamalla sen.
Käänteisen matriisin järjestys on sama kuin alkuperäisen matriisin järjestys. Tässä tapauksessa meillä on sama määrä rivejä n ja sarakkeita m sekä matriisissa V että V -1 .
Matriisijako