Koveran ja kuperan ero voidaan selittää seuraavasti → Termi kupera viittaa siihen, että pinnalla on sisäänpäin kaarevuus, kun taas jos se olisi kovera, kaarevuus olisi ulospäin.
Voimme siis kuvata sitä toisella tavalla. Koveran pinnan keskiosa on painavampi tai painuneempi. Toisaalta, jos se olisi kupera, se keskiosa olisi näkyvä.
Ymmärtääksemme sitä paremmin voimme mainita joitain esimerkkejä. Ensinnäkin, klassinen tapaus pallosta, jonka pinta on kupera. Kuitenkin, jos leikkaamme sen kahtia ja säilytämme alaosan, saamme koveran esineen, jossa on painuma (olettaen, että pallon sisäpuoli on tyhjä).
Toinen esimerkki kuperasta olisi vuori, koska se on ulkoneva suhteessa maan pintaan. Päinvastoin, kaivo on kovera, koska siihen pääsy merkitsee uppoamista maanpinnan alapuolelle.
On myös huomattava, että objektin määritteleminen koveraksi tai kuperaksi perspektiiviksi on myös otettava huomioon. Siten esimerkiksi keittokulho on tarjoiluvalmiina kovera, siinä on notko. Kuitenkin, jos käännämme sen, levy on kupera.
Toisaalta paraabelien tapauksessa ne ovat kuperia, jos niillä on U-muoto, mutta koveria, jos niillä on käänteinen U-muoto.
Koverat ja kuperat funktiot
Jos funktion toinen derivaatta on jossain pisteessä pienempi kuin nolla, funktio on kovera tässä pisteessä. Toisaalta, jos se on suurempi kuin nolla, se on kupera siinä kohdassa. Yllä oleva voidaan ilmaista seuraavasti:
Jos f »(x) <0, f (x), se on kovera.
Jos f »(x)> 0, f (x) se on kupera.
Esimerkiksi yhtälössä f (x) = x 2 + 5x-6 voimme laskea sen ensimmäisen derivaatan:
f'(x) = 2x + 5
Sitten löydämme toisen derivaatan:
f »(x) = 2
Siksi, koska f »(x) on suurempi kuin 0, funktio on kupera jokaiselle x:n arvolle, kuten alla olevasta kaaviosta nähdään:
Katsotaan nyt tämän toisen funktion tapausta: f (x) = – 4x 2 + 7x + 9.
f'(x) = -8x + 7
f »(x) = -8
Siksi, koska toinen derivaatta on pienempi kuin 0, funktio on kovera jokaiselle x:n arvolle.
Mutta nyt katsotaan seuraavaa yhtälöä: -5 x 3 + 7x 2 +5 x-4
f ’(x) = – 15x 2 + 14x + 5
f »(x) = -30x + 14
Asetamme toisen derivaatan nollaksi:
-30x + 14 = 0
x = 0,4667
Joten kun x on suurempi kuin 0,4667, f »(x) on suurempi kuin nolla, joten funktio on kupera. Jos x on pienempi kuin 0,4667, funktio on kovera, kuten alla olevasta kaaviosta nähdään:
Kupera ja kovera monikulmio
Kupera monikulmio on sellainen, jossa sen kaksi pistettä voidaan liittää yhteen piirtämällä suoran viivan, joka pysyy kuvion sisällä. Samoin sen sisäkulmat ovat kaikki alle 180º.
Toisaalta kovera monikulmio on sellainen, jossa kahden sen pisteen yhdistämiseksi on piirrettävä suora viiva, joka on kuvion ulkopuolella, tämä on ulkolävistäjä, joka yhdistää kaksi kärkeä. Lisäksi ainakin yksi sen sisäkulmista on suurempi kuin 180º.
Näemme vertailun alla olevasta kuvasta:
