Antisymmetrinen matriisi

Antisymmetrinen matriisi

Peili 1

Antisymmetrinen matriisi on neliömatriisi, jossa päälävistäjän ulkopuolella olevat elementit ovat symmetrisesti yhtä suuret, mutta päälävistäjän alapuolella olevat elementit ovat negatiivinen.

Toisin sanoen antisymmetrinen matriisi on matriisi, jossa on sama määrä rivejä (n) ja sarakkeita (m) ja päälävistäjän molemmilla puolilla olevat elementit täydentävät toisiaan.

Koska päälävistäjän ylä- ja alapuolella olevat elementit ovat siirtyneet, päädiagonaalin elementit ovat nollia.

Suositeltu artikkeli: epäsymmetrinen matriisi ja symmetrinen matriisi.

Antisymmetrisen matriisin ominaisuudet

Antisymmetrisen matriisin ominaisuudet ovat:

  • Neliömatriisi.
  • Symmetrinen matriisi + negatiivinen merkki (-) päädiagonaalin alapuolella olevissa elementeissä.
  • Päädiagonaalin elementit ovat nollia (0).

Antisymmetrinen matriisi

Annettu neliömatriisi AS ,

Antisymmetrinen matriisi 1
Antisymmetrinen matriisi

Voimme nähdä, kuinka samat elementit esiintyvät päälävistäjän molemmilla puolilla, mutta sillä erityispiirteellä, että päälävistäjän alapuolella olevien elementtien edessä on negatiivinen merkki. Myös päädiagonaali koostuu nollista.

Antisymmetrinen matriisi ja peilit

Samoin kuin symmetrinen matriisi, myös antisymmetrinen matriisi voidaan ymmärtää peilin esimerkin kautta.

Peili 1
Peili

Jos katsomme itseämme peilistä ja nostamme oikean kätemme, näemme, että peilissä oleva henkilö nostaa vasenta kätensä. Toisin sanoen peilin liike täydentää meidän liikettämme ja siksi molempien summa johtaisi nollaan.

Voimme ilmaista yllä olevan ajatuksen seuraavasti ja päätellä:

(Nosta oikea käsi) (Nosta vasen käsi) = 0

(Nosta oikea käsi) = (Nosta vasen käsi)

Päälävistäjä toimii peilinä ja näemme vastakkaisia ​​elementtejä päädiagonaalin molemmilla puolilla. Neutraalifunktio (=) kuvaa päädiagonaalia.

Omaisuus

  • Antisymmetrisen matriisin transponoitu matriisi on yhtä suuri kuin antisymmetrinen matriisi kerrottuna (-1).

Toisin sanoen se olisi kuin lisäisi negatiivinen merkki antisymmetrisen matriisin eteen.

Matemaattisesti,

Antisymmetrinen matriisiominaisuus 1
Antisymmetrisen matriisin ominaisuus

Näemme, että molemmilla proseduureilla pääsemme samaan tulokseen: teemme transponoidun matriisin tai kerromme (-1):llä antisymmetrisen matriisin.

Epäsymmetrinen matriisi vs antisymmetrinen matriisi vs symmetrinen matriisi

Esimerkki peilistä symmetrisen matriisin tapauksessa riittää, että se heijastaa samaa liikettä, eli jos nostamme käden, voimme nähdä nostetun käden, mutta ei ole tarpeen määritellä, mikä se on. Antisymmetrisen matriisin tapauksessa meidän on tarkistettava, mikä käsivarsi näemme peilissä, ja määritettävä, onko se antisymmetrinen matriisi.

Jos nostamme käden ja peilistä näemme, että…

  • Sama käsivarsi nostetaan peilissä olevan henkilön näkökulmasta, niin se on symmetrinen matriisi.
  • Vastakkainen käsi on kohotettuna peilissä olevan henkilön näkökulmasta, silloin se on antisymmetrinen matriisi.
  • Jos yhtään kättä ei nosteta tai useampi kuin yksi on nostettu peilissä olevan henkilön näkökulmasta, kyseessä on epäsymmetrinen matriisi.

Matriisijako

  • Cholesky-hajoaminen
  • Matriisin determinantti
  • Kiinnitetty matriisi