Sümmeetriline maatriks

Sümmeetriline maatriks on n järku maatriks, millel on sama arv ridu ja veerge, kus selle transponeeritud maatriks on võrdne algmaatriksiga.

Teisisõnu, sümmeetriline maatriks on ruutmaatriks ja on maatriksiga identne pärast ridade vahetamist veergude ja veergude ridade vastu.

Nõuded

Et mis tahes maatriks oleks sümmeetriline maatriks, peab see vastama järgmistele piirangutele:

Kui on antud sümmeetriline maatriks P järku n,

• Olge ruutmaatriks .

Ridade arv (n) peab olema sama kui veergude arv (m). See tähendab, et maatriksi järjekord peab olema n, kui n = m.

• Algne maatriks peab olema võrdne selle transponeeritud maatriksiga .

Demonstratsioon:

Omadused

• Sümmeetrilise maatriksi adjointmaatriks on ka sümmeetriline maatriks.

Demonstratsioon:

• Kahe sümmeetrilise maatriksi liitmisel või lahutamisel saadakse teine ​​sümmeetriline maatriks.

Demonstratsioon:

Kui on antud kaks 3. järku sümmeetrilist maatriksit P ja T , saame summast teise sümmeetrilise maatriksi S.

Miks nimetatakse seda sümmeetriliseks maatriksiks?

Sümmeetria omaduse annavad põhidiagonaali ümber olevad elemendid. Kuna ruutmaatriks on sümmeetriline maatriks, on sellel põhidiagonaali kohal ja all alati sama arv elemente. Need elemendid on sümmeetriliselt samad. See tähendab, et põhidiagonaal toimib peeglina.

Maatriksi sümmeetria ja viltuse tõestus

Sümmeetriline maatriks

Täht d tähistab põhidiagonaali elemente. Ülejäänud tähed tähistavad mis tahes reaalarvu. Näeme, et põhidiagonaal toimib nagu peegel: see peegeldab mõlema külje elemente. Teisisõnu, kui elemendid diagonaali mõlemal küljel on sümmeetriliselt võrdsed, siis me ütleme, et maatriks P on sümmeetriline maatriks.

Mittesümmeetriline maatriks

Maatriks X ei ole sümmeetriline maatriks, kuna see ei ole ruutmaatriks ja selle transponeeritud maatriks erineb algsest maatriksist. Lisaks pole sellel ka põhidiagonaali.