Nõgusa ja kumera erinevust saab seletada järgmiselt → Mõiste kumer viitab asjaolule, et pinnal on sissepoole kumerus, samas kui see oleks nõgus, oleks kumerus väljapoole.
Seega saame seda kirjeldada muul viisil. Nõgusa pinna keskosa on rohkem alla surutud või surutud. Teisest küljest, kui see oleks kumer, oleks see keskosa esile tõstetud.
Et seda paremini mõista, võime tuua mõned näited. Esiteks, klassikaline sfääri juhtum, mille pind on kumer. Kui aga lõigata see kaheks ja jätta alumine pool alles, saaksime nõgusa objekti, millel on nõgus (eeldusel, et kera sisemus on tühi).
Veel üks kumera näide oleks mägi, kuna see on maapinna suhtes silmapaistev. Vastupidi, kaev on nõgus, kuna sellesse sisenemine tähendab vajumist maapinnast madalamale.
Samuti tuleb märkida, et objekti määratlemiseks nõgusa või kumerana tuleb arvestada ka perspektiiviga. Seega on näiteks supitaldrik serveerimisvalmis olles nõgus, sellel on nõgus. Kui aga ümber pöörata, on plaat kumer.
Seevastu paraboolide puhul on nad kumerad, kui neil on U-kuju, aga nõgusad, kui neil on ümberpööratud U-kujuline.
Nõgusad ja kumerad funktsioonid
Kui funktsiooni teine tuletis on mingis punktis väiksem kui null, siis on funktsioon selles punktis nõgus. Teisest küljest, kui see on suurem kui null, on see selles punktis kumer. Ülaltoodut saab väljendada järgmiselt:
Kui f »(x) <0, f (x), on see nõgus.
Kui f »(x)> 0, f (x) on see kumer.
Näiteks võrrandis f (x) = x 2 + 5x-6 saame arvutada selle esimese tuletise:
f ‘(x) = 2x + 5
Seejärel leiame teise tuletise:
f »(x) = 2
Seetõttu, kuna f »(x) on suurem kui 0, on funktsioon iga x väärtuse korral kumer, nagu näeme alloleval graafikul:
Vaatame nüüd selle teise funktsiooni juhtumit: f (x) = – 4x 2 + 7x + 9.
f ‘(x) = – 8x + 7
f »(x) = -8
Seetõttu, kuna teine tuletis on väiksem kui 0, on funktsioon iga x väärtuse korral nõgus.
Aga nüüd vaatame järgmist võrrandit: -5 x 3 + 7x 2 +5 x-4
f ‘(x) = – 15x 2 + 14x + 5
f »(x) = -30x + 14
Seadsime teise tuletise võrdseks nulliga:
-30x + 14 = 0
x = 0,4667
Seega, kui x on suurem kui 0,4667, on f »(x) suurem kui null, seega on funktsioon kumer. Kui x on väiksem kui 0,4667, on funktsioon nõgus, nagu näeme alloleval graafikul:
Kumer ja nõgus hulknurk
Kumer hulknurk on selline, mille kaks punkti saab ühendada, tõmmates sirge, mis jääb joonise sisse. Samuti on selle sisenurgad kõik alla 180º.
Teisest küljest on nõgus hulknurk selline, mille kahe punkti ühendamiseks tuleb tõmmata sirgjoon, mis jääb joonisest väljapoole, mis on kahte tippu ühendav välisdiagonaal. Lisaks on vähemalt üks selle sisenurkadest suurem kui 180º.
Võrdlust näeme alloleval pildil:
