Antisümmeetriline maatriks

Antisümmeetriline maatriks

Peegel 1

Antisümmeetriline maatriks on ruutmaatriks, kus põhidiagonaalist väljapoole jäävad elemendid on sümmeetriliselt võrdsed, kuid põhidiagonaalist allpool olevad elemendid kannavad negatiivset märki.

Teisisõnu, antisümmeetriline maatriks on maatriks, millel on sama arv ridu (n) ja veerge (m) ning põhidiagonaali mõlemal küljel olevad elemendid täiendavad üksteist.

Kuna põhidiagonaali kohal ja all olevad elemendid on nihutatud, on põhidiagonaalil olevad elemendid nullid.

Soovitatav artikkel: mittesümmeetriline maatriks ja sümmeetriline maatriks.

Antisümmeetrilise maatriksi omadused

Antisümmeetrilise maatriksi omadused on järgmised:

  • Ruutmaatriks.
  • Sümmeetriline maatriks + miinusmärk (-) põhidiagonaali all olevates elementides.
  • Põhidiagonaali elemendid on nullid (0).

Antisümmeetriline maatriks

Antud ruutmaatriks AS ,

Antisümmeetriline maatriks 1
Antisümmeetriline maatriks

Näeme, kuidas samad elemendid ilmuvad mõlemale poole põhidiagonaali, kuid selle eripäraga, et põhidiagonaali all olevatel elementidel on ees negatiivne märk. Samuti koosneb põhidiagonaal nullidest.

Antisümmeetriline maatriks ja peeglid

Samamoodi nagu sümmeetrilist maatriksit, saab peegli näite kaudu mõista ka antisümmeetrilist maatriksit.

Peegel 1
Peegel

Kui vaatame end peeglist ja tõstame parema käe üles, näeme, et peeglis olev inimene tõstab vasaku käe. Teisisõnu, peegli liikumine täiendab meie liikumist ja seetõttu oleks mõlema summa tulemuseks null.

Saame ülaltoodud ideed väljendada järgmiselt ja järeldada:

(Tõstke parem käsi) (Tõstke vasak käsi) = 0

(Tõstke parem käsi) = (Tõstke vasak käsi)

Peadiagonaal toimib peeglina ja me näeme põhidiagonaali mõlemal küljel vastandlikke elemente. Neutraalne funktsioon (=) vastab põhidiagonaalile.

Kinnisvara

  • Antisümmeetrilise maatriksi transponeeritud maatriks on võrdne antisümmeetrilise maatriksiga, mis on korrutatud (-1).

Teisisõnu, see oleks nagu negatiivse märgi lisamine antisümmeetrilise maatriksi ette.

matemaatiliselt,

Antisümmeetrilise maatriksi omadus 1
Antisümmeetrilise maatriksi omadus

Näeme, et mõlema protseduuriga jõuame sama tulemuseni: maatriksi transponeerimine või antisümmeetrilise maatriksi korrutamine (-1).

Mittesümmeetriline maatriks vs antisümmeetriline maatriks vs sümmeetriline maatriks

Peegli näide sümmeetrilise maatriksi puhul on piisav, et see peegeldab sama liikumist, st kui tõstame käe, näeme üles tõstetud kätt, kuid pole vaja täpsustada, mis see on. Antisümmeetrilise maatriksi puhul peame kontrollima, millist kätt me peeglis näeme, ja tegema kindlaks, kas tegemist on antisümmeetrilise maatriksiga.

Kui tõstame käe ja peeglist näeme, et …

  • Sama käsi tõstetakse üles, peeglis oleva inimese vaatevinklist, siis on tegemist sümmeetrilise maatriksiga.
  • Vastupidine käsi on üles tõstetud, peeglis oleva inimese vaatevinklist, siis on tegemist antisümmeetrilise maatriksiga.
  • Kui peeglis oleva inimese seisukohast ei tõsteta ühtegi kätt või tõstetakse rohkem kui üks, siis on tegemist mittesümmeetrilise maatriksiga.

Maatriksjaotus

  • Cholesky lagunemine
  • Maatriksi determinant
  • Peadiagonaal