Ένας συμμετρικός πίνακας είναι ένας πίνακας τάξης n με τον ίδιο αριθμό γραμμών και στηλών όπου ο μετατιθέμενος πίνακας του είναι ίσος με τον αρχικό πίνακα.
Με άλλα λόγια, ένας συμμετρικός πίνακας είναι ένας τετράγωνος πίνακας και είναι πανομοιότυπος με τον πίνακα αφού έχει ανταλλάξει τις γραμμές με στήλες και τις στήλες με γραμμές.
Απαιτήσεις
Για να είναι οποιοσδήποτε πίνακας συμμετρικός πίνακας, πρέπει να πληροί τους ακόλουθους περιορισμούς:
Δίνεται ένας συμμετρικός πίνακας P τάξης n,
- Να είναι τετράγωνος πίνακας .
Ο αριθμός των σειρών (n) πρέπει να είναι ίδιος με τον αριθμό των στηλών (m). Δηλαδή, η σειρά του πίνακα πρέπει να είναι n δεδομένου ότι n = m.
- Ο αρχικός πίνακας πρέπει να είναι ίσος με τον μεταφερόμενο πίνακα του .
Επίδειξη:
Ιδιότητες
- Ο πρόσθετος πίνακας ενός συμμετρικού πίνακα είναι επίσης ένας συμμετρικός πίνακας.
Επίδειξη:
- Η πρόσθεση ή η αφαίρεση δύο συμμετρικών πινάκων οδηγεί σε έναν άλλο συμμετρικό πίνακα.
Επίδειξη:
Με δεδομένους δύο συμμετρικούς πίνακες P και T τάξης 3, λαμβάνουμε έναν άλλο συμμετρικό πίνακα S από το άθροισμα.
Γιατί ονομάζεται συμμετρικός πίνακας;
Η ιδιότητα της συμμετρίας δίνεται από τα στοιχεία γύρω από την κύρια διαγώνιο. Δεδομένου ότι ένας τετραγωνικός πίνακας είναι ένας συμμετρικός πίνακας, θα έχει πάντα τον ίδιο αριθμό στοιχείων πάνω και κάτω από την κύρια διαγώνιο. Αυτά τα στοιχεία είναι τα ίδια συμμετρικά. Δηλαδή, η κύρια διαγώνιος λειτουργεί ως καθρέφτης.
Απόδειξη συμμετρίας και λοξής μήτρας
Συμμετρική μήτρα
Το γράμμα d αντιπροσωπεύει τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου. Τα άλλα γράμματα αντιπροσωπεύουν οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό. Μπορούμε να δούμε ότι η κύρια διαγώνιος λειτουργεί σαν καθρέφτης: αντανακλά τα στοιχεία και στις δύο πλευρές. Με άλλα λόγια, όταν τα στοιχεία και στις δύο πλευρές της διαγωνίου είναι συμμετρικά ίσα, λέμε ότι ο πίνακας P είναι ένας συμμετρικός πίνακας.
Μη συμμετρικός πίνακας
Ο πίνακας X δεν είναι συμμετρικός πίνακας αφού δεν είναι τετράγωνος πίνακας και ο μετατιθέμενος πίνακας του είναι διαφορετικός από τον αρχικό πίνακα. Επιπλέον, δεν έχει ούτε κύρια διαγώνιο.
Μη συμμετρικός πίνακας