Σημείο καμπής

Το σημείο καμπής μιας μαθηματικής συνάρτησης είναι το σημείο στο οποίο η γραφική παράσταση που την αναπαριστά αλλάζει την κοιλότητά της. Δηλαδή, από κοίλο γίνεται κυρτό ή το αντίστροφο.

Σημείο καμπής

Το σημείο καμπής, με άλλα λόγια, είναι εκείνη η στιγμή που η συνάρτηση αλλάζει τάση.

Για να πάρετε μια ιδέα, ας ξεκινήσουμε κοιτάζοντάς το σε μια γραφική παράσταση, κατά προσέγγιση:

Σημείο καμπής 1 1

Πρέπει να σημειωθεί ότι μια συνάρτηση μπορεί να έχει περισσότερα από ένα σημεία καμπής ή να μην τα έχει καθόλου. Για παράδειγμα, μια γραμμή δεν έχει σημείο καμπής.

Ας δούμε, στο παρακάτω γράφημα, ένα παράδειγμα συνάρτησης με περισσότερα από ένα σημεία καμπής:

Σημεία καμπής

Επίσης, σε μαθηματικούς όρους, το σημείο καμπής υπολογίζεται ορίζοντας τη δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης ίση με μηδέν. Έτσι, λύνουμε τη ρίζα (ή τις ρίζες) αυτής της εξίσωσης και θα την ονομάσουμε Xi.

Στη συνέχεια, αντικαθιστούμε το Xi στην τρίτη παράγωγο της συνάρτησης. Εάν το αποτέλεσμα είναι διαφορετικό από το μηδέν, αντιμετωπίζουμε ένα σημείο καμπής.

Ωστόσο, εάν το αποτέλεσμα είναι μηδέν, πρέπει να αντικαταστήσουμε τις διαδοχικές παραγώγους, έως ότου η τιμή αυτής της παραγώγου, είτε είναι η τρίτη, η τέταρτη είτε η πέμπτη, είναι διαφορετική από το 0. Εάν η παράγωγος είναι περιττή, είναι σημείο καμπής , αλλά αν είναι και όχι.

Παράδειγμα σημείο καμπής

Στη συνέχεια, ας δούμε ένα παράδειγμα.

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε την ακόλουθη συνάρτηση:

y = 2x 4 + 5x 3 + 9x + 14

y ‘= 8x 3 + 15x 2 +9

y »= 24x 2 + 30x = 0

24x = -30

Xi = -1,25

Στη συνέχεια, αντικαθιστούμε το Xi στην τρίτη παράγωγο:

y »’= 48x

y »’= 48x-1,25 = -60

Καθώς το αποτέλεσμα είναι διαφορετικό από το μηδέν, βρισκόμαστε μπροστά σε ένα σημείο καμπής που θα ήταν όταν το x είναι ίσο με -1,25 και το y ίσο με -2,1328, όπως φαίνεται στο παρακάτω γράφημα.

Σε αυτό παρατηρείται ότι η συνάρτηση έχει ένα σημείο καμπής:

Σημείο καμπής

Τώρα, ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα:

y = x 4 -54x 2

y ‘= 4x 3 -108x

y »= 12x 2 -108 = 0

x 2 = 9

Xi = 3 και -3

Στη συνέχεια, αντικαθιστούμε τις δύο ρίζες που βρίσκονται στην τρίτη παράγωγο:

y »’= 24x

y »’= 24 × 3 = 72

y »’= 24x-3 = -72

Εφόσον το αποτέλεσμα είναι μη μηδενικό, έχουμε δύο σημεία καμπής στα (3.567) και (-3.567).

Για να συμπληρώσετε τις πληροφορίες, σας προσκαλούμε να επισκεφθείτε το άρθρο της κλίσης, όπου καλύπτουμε αυτή την έννοια γενικότερα: