Μέγιστος κοινός διαιρέτης (GCF)

Μέγιστος κοινός διαιρέτης (GCF)

Μέγιστο κοινό διαιρέτη

Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης (GCF) είναι ο μεγαλύτερος αριθμός με τον οποίο μπορούν να διαιρεθούν δύο ή περισσότεροι αριθμοί. Αυτό, χωρίς να αφήνει κανένα υπόλειμμα.

Δηλαδή, ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης ή GCF είναι ο υψηλότερος αριθμός με τον οποίο μπορεί να διαιρεθεί ένα σύνολο αριθμών, με αποτέλεσμα έναν ακέραιο αριθμό.

Ένας διαιρέτης μπορεί να οριστεί επίσημα ως ο αριθμός που περιέχεται σε έναν άλλο ακριβώς ένα ποσό n φορές.

Πρέπει να σημειωθεί ότι οι αριθμοί στους οποίους υπολογίζεται το GCF πρέπει να είναι διαφορετικοί από το μηδέν.

Για να το εξηγήσουμε καλύτερα, ας δούμε ένα παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε 35 και 15. Έτσι, παρατηρούμε ποιοι είναι οι διαιρέτες του καθενός:

  • Διαιρέτες του 35 → 35,7,5,1
  • Διαιρέτες του 15 → 15,5,3,1

Επομένως, ο μεγαλύτερος κοινός παράγοντας του 35 και του 15 είναι το 5.

Αξίζει να αναφέρουμε ότι αν οι κοινοί διαιρέτες δύο αριθμών είναι μόνο 1 και -1, ονομάζονται «πρώτοι μεταξύ τους».

Μέθοδοι υπολογισμού του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη

Μπορούμε να διακρίνουμε τις ακόλουθες τρεις μεθόδους για τον υπολογισμό του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη:

  • Αποσύνθεση σε πρώτους παράγοντες: Οι αριθμοί διασπώνται σε πρώτους. Στη συνέχεια, για να υπολογίσουμε το GCF, παίρνουμε τους κοινούς αριθμούς που ανεβαίνουν στη χαμηλότερη ισχύ. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι έχουμε 216 και 156:

216/2 = 108

108/2 = 54

54/2 = 27

27/3 = 9

9/3 = 3

3/3 = 1

216 = (3 ^ 3) * (2 ^ 3)

156/2 = 78

78/2 = 39

39/3 = 13

13/13 = 1

156 = 13 * 3 * (2 ^ 2)

Επομένως, ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης μεταξύ των δύο αριθμών θα ήταν: (2 ^ 2) * 3 = 12

Τώρα ας υποθέσουμε ότι έχουμε τρία στοιχεία: 315, 441 και 819

315 = (3 ^ 2) * 7 * 5

441 = (3 ^ 2) * (7 ^ 2)

819 = (3 ^ 2) * 7 * 13

Στη συνέχεια, αφού τα χωρίσουμε, λαμβάνοντας κάθε διαιρέτη με τη χαμηλότερη ισχύ του, το αποτέλεσμα θα ήταν:

GCF = (3 ^ 2) * 7 = 63

  • Αλγόριθμος του Ευκλείδη : Διαιρώντας το a με το b , παίρνουμε πηλίκο c και r . Άρα, ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των a και b είναι ίδιος με αυτόν των b και r . Αυτό, λαμβάνοντας υπόψη τα ακόλουθα: a = bc + r . Για να το καταλάβουμε καλύτερα, ας εφαρμόσουμε αυτή τη μέθοδο στο παράδειγμα που παρουσιάστηκε προηγουμένως με τα 216 και 156.

216/156 = 1 με υπόλοιπο 60

τώρα διαιρούμε 156/60 = 2 με το υπόλοιπο 36

Διαιρούμε ξανά 60/36 = 1 με το υπόλοιπο 24

Για άλλη μια φορά διαιρούμε 36/24 = 1 με το υπόλοιπο 12

Και τέλος διαιρούμε 24/12 = 2 με το υπόλοιπο 0

Επομένως, ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης είναι το 12. Όπως μπορούμε να δούμε, πρέπει να διαιρέσουμε έως ότου το υπόλοιπο είναι 0 και ο τελευταίος διαιρέτης θα είναι το GCF.

  • Με βάση το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο : Οι αριθμοί πολλαπλασιάζονται και το αποτέλεσμα διαιρείται με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιό τους (LCM).
Mcd 1

Πρέπει να θυμόμαστε ότι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM) είναι το μικρότερο ψηφίο που ικανοποιεί την προϋπόθεση να είναι πολλαπλάσιο όλων των στοιχείων ενός συνόλου αριθμών.

Δηλαδή, επιστρέφοντας στο ίδιο παράδειγμα, μπορούμε να αποσυνθέσουμε ως εξής:

216 = (3 ^ 3) * (2 ^ 3) και 156 = 13 * 3 * (2 ^ 2) 204 = 3 * (2 ^ 2) * 17 168 = 3 * (2 ^ 3) * 7

Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο θα ήταν: (3 ^ 3) * (2 ^ 3) * 13 * 17 * 7 = 334,152

Άρα: GCD = 216 * 156 / 2.808 = 12

Αξίζει να σημειωθεί ότι αυτή η μέθοδος λειτουργεί μόνο για δύο αριθμούς.

Σύντομη ιστορία του φιλελευθερισμού

  • Ξεκινήστε ένα προϊόν
  • Μάρκετινγκ / Μάρκετινγκ
  • Καπιταλισμός