Κυρτότητα δεσμού

Η κυρτότητα ενός ομολόγου είναι η κλίση της καμπύλης που συσχετίζει την τιμή και την κερδοφορία. Μετρά τη μεταβολή στη διάρκεια του ομολόγου ως αποτέλεσμα της αλλαγής της κερδοφορίας.

Κυρτότητα δεσμού

Μαθηματικά εκφράζεται ως η δεύτερη παράγωγος της καμπύλης τιμής-κερδοφορίας. Ο τύπος έχει ως εξής:

Η διακύμανση της τιμής ενός ομολόγου σε περίπτωση μεταβολών των επιτοκίων είναι το άθροισμα της διακύμανσης που προκαλείται από την τροποποιημένη διάρκεια και της διακύμανσης που προκαλείται από την κυρτότητα του ομολόγου.

Εάν η κυρτότητα ενός ομολόγου είναι ίση με 100, η ​​τιμή του ομολόγου θα αλλάζει επιπλέον 1% για κάθε 1% μεταβολή των επιτοκίων, επιπλέον αυτού που υπολογίζεται από τη διάρκεια. Εάν η κυρτότητα ενός ομολόγου είναι ίση με μηδέν, η τιμή του ομολόγου θα ποικίλλει ανάλογα με τις μεταβολές των επιτοκίων ανάλογα με το ποσό που οφείλεται στη διάρκεια του ομολόγου.

Κυρτότητα σχέσης δεσμού και διάρκεια δεσμού

Η κυρτότητα ενός ομολόγου μας προσφέρει ένα πολύ πιο ακριβές μέτρο των μεταβολών τιμής-απόδοσης ενός ομολόγου. Η διάρκεια ενός ομολόγου προϋποθέτει ότι η σχέση μεταξύ τιμής και απόδοσης είναι σταθερή. Ωστόσο, η πραγματικότητα είναι πολύ διαφορετική. Ως εκ τούτου, παρά τις μικρές διακυμάνσεις τιμής-κερδοφορίας, η διάρκεια είναι ένα αποδεκτό μέτρο. Αλλά για μεγαλύτερες παραλλαγές, ο υπολογισμός της κυρτότητας είναι απαραίτητος.

Μαθηματικά μπορεί να φαίνεται σαν λίγο αφηρημένος όρος. Δεδομένου ότι γραφικά είναι πολύ πιο εύκολο να το κατανοήσουμε, ας το δούμε να αναπαρίσταται. Στα δύο επόμενα γραφήματα βλέπουμε να αντιπροσωπεύονται τόσο η διάρκεια όσο και η κυρτότητα.

Όσο χαμηλότερη είναι η απόδοση του ομολόγου, τόσο υψηλότερη είναι η τιμή του. Και αντίστροφα, όσο μεγαλύτερη είναι η κερδοφορία του ομολόγου, τόσο χαμηλότερη είναι η τιμή του. Φυσικά, η τιμή δεν αλλάζει στην ίδια αναλογία εάν η κερδοφορία του αλλάξει από 10 σε 12% όπως αν αλλάξει από 1 σε 2%. Αυτό λαμβάνει υπόψη η κυρτότητα. Η διάρκεια προϋποθέτει ότι η αλλαγή στην τιμή είναι η ίδια κάθε φορά. Ενώ η κυρτότητα λαμβάνει υπόψη ότι η μεταβολή της τιμής δεν είναι σταθερή. Η διαφορά μεταξύ της μπλε γραμμής και της πορτοκαλί γραμμής είναι η ίδια η κυρτότητα. Η πορτοκαλί γραμμή είναι η μεταβολή στην τιμή του ομολόγου λαμβάνοντας υπόψη τη διάρκεια. Τέλος, η μπλε γραμμή αντιπροσωπεύει τις αλλαγές στην τιμή του ομολόγου λαμβάνοντας υπόψη τη διάρκεια και την κυρτότητα.

Παράδειγμα κυρτότητας δεσμού

Έχουμε ένα ομόλογο που ωριμάζει σε 10 χρόνια. Το κουπόνι είναι 7% και το ομόλογο έχει ονομαστική αξία 100 ευρώ. Το IRR της αγοράς είναι 5%. Κάτι που σημαίνει ότι τα ομόλογα με παρόμοια χαρακτηριστικά προσφέρουν απόδοση 5%. Ή τι είναι το ίδιο 2% λιγότερο. Η πληρωμή του κουπονιού είναι ετήσια.

Αν η απόδοση του ομολόγου πάει από 7% σε 5%, πόσο αλλάζει η τιμή του ομολόγου; Για να υπολογίσουμε τη διακύμανση που θα είχε η τιμή σε περίπτωση αλλαγής του επιτοκίου, θα χρειαστούμε τους ακόλουθους τύπους:

Υπολογισμός τιμής ομολόγου:

Υπολογισμός της διάρκειας του μπόνους:

Υπολογισμός τροποποιημένης διάρκειας:

Υπολογισμός κυρτότητας:

Υπολογισμός της διακύμανσης της διάρκειας:

Υπολογισμός της διακύμανσης της κυρτότητας:

Υπολογισμός της διακύμανσης της τιμής του ομολόγου:

Κατεβάστε τον πίνακα excel για να δείτε όλους τους λεπτομερείς υπολογισμούς

Χρησιμοποιώντας τους παραπάνω τύπους λαμβάνουμε τα ακόλουθα δεδομένα:

Τιμή ομολόγου = 115,44

Διάρκεια = 7,71

Τροποποιημένη Διάρκεια = 7,34

Κυρτότητα = 69,73

Η διακύμανση της τιμής ενόψει της πτώσης της απόδοσης του ομολόγου κατά 2% είναι + 14,68% λαμβάνοντας υπόψη τη διάρκεια. Η διακύμανση της τιμής του ομολόγου λαμβάνοντας υπόψη την κυρτότητα είναι + 1,39%. Για να λάβουμε τη συνολική διακύμανση της τιμής πρέπει να προσθέσουμε τις δύο παραλλαγές. Ο υπολογισμός δείχνει ότι ενόψει της πτώσης του 2% αυτού του ομολόγου, η τιμή θα αυξανόταν κατά 16,07%.