Η διαφορά μεταξύ κοίλου και κυρτού μπορεί να εξηγηθεί ως εξής → Ο όρος κυρτή αναφέρεται στο γεγονός ότι μια επιφάνεια έχει καμπυλότητα προς τα μέσα, ενώ αν ήταν κοίλη η καμπυλότητα θα ήταν προς τα έξω.
Έτσι, μπορούμε να το περιγράψουμε με άλλο τρόπο. Το κεντρικό τμήμα μιας κοίλης επιφάνειας είναι πιο πιεσμένο ή πιεσμένο. Από την άλλη, αν ήταν κυρτό, αυτό το κεντρικό τμήμα θα έδειχνε μια προεξοχή.
Για να το καταλάβουμε καλύτερα μπορούμε να αναφέρουμε μερικά παραδείγματα. Πρώτον, η κλασική περίπτωση μιας σφαίρας, της οποίας η επιφάνεια είναι κυρτή. Ωστόσο, αν το κόψουμε στα δύο και κρατήσουμε το κάτω μισό, θα είχαμε ένα κοίλο αντικείμενο, με κλίση (υποθέτοντας ότι το εσωτερικό της σφαίρας είναι άδειο).
Ένα άλλο παράδειγμα κυρτού θα ήταν ένα βουνό, καθώς είναι μια εξέχουσα θέση σε σχέση με την επιφάνεια της γης. Αντίθετα, ένα πηγάδι είναι κοίλο, αφού η είσοδος σε αυτό συνεπάγεται βύθιση, κάτω από το επίπεδο της επιφάνειας της γης.
Θα πρέπει επίσης να σημειωθεί ότι για να οριστεί ένα αντικείμενο ως κοίλη ή κυρτή προοπτική πρέπει επίσης να ληφθεί υπόψη. Έτσι, ένα μπολ σούπας, για παράδειγμα, όταν είναι έτοιμη για σερβίρισμα, είναι κοίλο, έχει κρεμάσει. Ωστόσο, αν το αναποδογυρίσουμε, το πιάτο θα είναι κυρτό.
Από την άλλη, στην περίπτωση των παραβολών, είναι κυρτές αν έχουν σχήμα U, αλλά κοίλες εάν έχουν σχήμα ανεστραμμένο U.
Κοίλες και κυρτές συναρτήσεις
Αν η δεύτερη παράγωγος μιας συνάρτησης είναι μικρότερη από το μηδέν σε ένα σημείο, τότε η συνάρτηση είναι κοίλη σε αυτό το σημείο. Από την άλλη, αν είναι μεγαλύτερο από το μηδέν, είναι κυρτό σε αυτό το σημείο. Τα παραπάνω μπορούν να εκφραστούν ως εξής:
Αν f »(x) <0, f (x), είναι κοίλο.
Αν f »(x)> 0, f (x) είναι κυρτό.
Για παράδειγμα, στην εξίσωση f (x) = x 2 + 5x-6, μπορούμε να υπολογίσουμε την πρώτη της παράγωγο:
f ‘(x) = 2x + 5
Τότε βρίσκουμε τη δεύτερη παράγωγο:
f »(x) = 2
Επομένως, εφόσον η f »(x) είναι μεγαλύτερη από 0, η συνάρτηση είναι κυρτή για κάθε τιμή του x, όπως βλέπουμε στο παρακάτω γράφημα:
Τώρα, ας δούμε την περίπτωση αυτής της άλλης συνάρτησης: f (x) = – 4x 2 + 7x + 9.
f ‘(x) = – 8x + 7
f »(x) = – 8
Επομένως, εφόσον η δεύτερη παράγωγος είναι μικρότερη από 0, η συνάρτηση είναι κοίλη για κάθε τιμή του x.
Αλλά τώρα ας δούμε την ακόλουθη εξίσωση: -5 x 3 + 7x 2 +5 x-4
f ‘(x) = – 15x 2 + 14x + 5
f »(x) = – 30x + 14
Θέτουμε τη δεύτερη παράγωγο ίση με μηδέν:
-30x + 14 = 0
x = 0,4667
Άρα όταν το x είναι μεγαλύτερο από 0,4667, η f »(x) είναι μεγαλύτερη από το μηδέν, άρα η συνάρτηση είναι κυρτή. Ενώ αν το x είναι μικρότερο από 0,4667, η συνάρτηση είναι κοίλη, όπως βλέπουμε στο παρακάτω γράφημα:
Κυρτό και κοίλο πολύγωνο
Ένα κυρτό πολύγωνο είναι αυτό όπου δύο από τα σημεία του μπορούν να ενωθούν, σχεδιάζοντας μια ευθεία γραμμή που παραμένει μέσα στο σχήμα. Ομοίως, οι εσωτερικές γωνίες του είναι όλες μικρότερες από 180º.
Από την άλλη πλευρά, ένα κοίλο πολύγωνο είναι εκείνο όπου, για να ενωθούν δύο από τα σημεία του, πρέπει να τραβηχτεί μια ευθεία γραμμή που βρίσκεται έξω από το σχήμα, αυτή είναι μια εξωτερική διαγώνιος που ενώνει δύο κορυφές. Επιπλέον, τουλάχιστον μία από τις εσωτερικές γωνίες του είναι μεγαλύτερη από 180º.
Μπορούμε να δούμε μια σύγκριση στην παρακάτω εικόνα:
