Αντισυμμετρική μήτρα

Αντισυμμετρική μήτρα

Καθρέφτης 1

Ένας αντισυμμετρικός πίνακας είναι ένας τετράγωνος πίνακας όπου τα στοιχεία έξω από την κύρια διαγώνιο είναι συμμετρικά ίσα, αλλά αυτά που βρίσκονται κάτω από την κύρια διαγώνιο φέρουν αρνητικό πρόσημο.

Με άλλα λόγια, ένας αντισυμμετρικός πίνακας είναι ένας πίνακας που έχει τον ίδιο αριθμό σειρών (n) και στηλών (m) και τα στοιχεία και στις δύο πλευρές της κύριας διαγωνίου είναι συμπληρωματικά.

Εφόσον τα στοιχεία πάνω και κάτω από την κύρια διαγώνιο είναι μετατοπισμένα, τα στοιχεία στην κύρια διαγώνιο είναι μηδενικά.

Προτεινόμενο άρθρο: μη συμμετρικός πίνακας και συμμετρικός πίνακας.

Χαρακτηριστικά της αντισυμμετρικής μήτρας

Τα χαρακτηριστικά ενός αντισυμμετρικού πίνακα είναι:

  • Τετράγωνη μήτρα.
  • Συμμετρικός πίνακας + αρνητικό πρόσημο (-) στα στοιχεία κάτω από την κύρια διαγώνιο.
  • Τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου είναι μηδενικά (0).

Αντισυμμετρική μήτρα

Δίνεται ένας τετραγωνικός πίνακας AS ,

Αντισυμμετρικός πίνακας 1
Αντισυμμετρική μήτρα

Μπορούμε να δούμε πώς εμφανίζονται τα ίδια στοιχεία και στις δύο πλευρές της κύριας διαγωνίου, αλλά με την ιδιαιτερότητα ότι τα στοιχεία κάτω από την κύρια διαγώνιο έχουν αρνητικό πρόσημο μπροστά. Επίσης, η κύρια διαγώνιος αποτελείται από μηδενικά.

Η αντισυμμετρική μήτρα και οι καθρέφτες

Με τον ίδιο τρόπο όπως η συμμετρική μήτρα, η αντισυμμετρική μήτρα μπορεί επίσης να γίνει κατανοητή μέσω του παραδείγματος του καθρέφτη.

Καθρέφτης 1
Καθρέφτης

Αν κοιτάξουμε τον εαυτό μας στον καθρέφτη και σηκώσουμε το δεξί μας χέρι, θα δούμε ότι το άτομο στον καθρέφτη σηκώνει το αριστερό του χέρι. Με άλλα λόγια, η κίνηση του καθρέφτη συμπληρώνει τη δική μας και, επομένως, το άθροισμα και των δύο θα είχε ως αποτέλεσμα το μηδέν.

Μπορούμε να εκφράσουμε την παραπάνω ιδέα ως εξής και να συμπεράνουμε:

(Σηκώστε το δεξί χέρι) (Σηκώστε το αριστερό χέρι) = 0

(Σήκωσε το δεξί χέρι) = (Σήκωσε το αριστερό χέρι)

Η κύρια διαγώνιος λειτουργεί ως καθρέφτης και βλέπουμε αντίθετα στοιχεία και στις δύο πλευρές της κύριας διαγωνίου. Η ουδέτερη συνάρτηση (=) αντιστοιχεί στην κύρια διαγώνιο.

Ιδιοκτησία

  • Ο μετατιθέμενος πίνακας ενός αντισυμμετρικού πίνακα είναι ίσος με τον αντισυμμετρικό πίνακα πολλαπλασιασμένο επί (-1).

Με άλλα λόγια, θα ήταν σαν να προσθέτουμε ένα αρνητικό πρόσημο μπροστά από τον αντισυμμετρικό πίνακα.

Μαθηματικά,

Ιδιότητα αντισυμμετρικής μήτρας 1
Ιδιότητα του αντισυμμετρικού πίνακα

Μπορούμε να δούμε ότι και με τις δύο διαδικασίες φτάνουμε στο ίδιο αποτέλεσμα: κάνοντας τον μετατιθέμενο πίνακα ή πολλαπλασιάζοντας με (-1) τον αντισυμμετρικό πίνακα.

Μη συμμετρικός πίνακας vs αντισυμμετρικός πίνακας vs συμμετρικός πίνακας

Το παράδειγμα του καθρέφτη στην περίπτωση της συμμετρικής μήτρας είναι αρκετό ώστε να αντανακλά την ίδια κίνηση, δηλαδή αν σηκώσουμε έναν βραχίονα, μπορούμε να δούμε έναν ανασηκωμένο βραχίονα αλλά δεν είναι απαραίτητο να προσδιορίσουμε τι είναι. Στην περίπτωση του αντισυμμετρικού πίνακα, πρέπει να ελέγξουμε ποιον βραχίονα βλέπουμε στον καθρέφτη και να προσδιορίσουμε αν πρόκειται για αντισυμμετρικό πίνακα.

Αν σηκώσουμε ένα χέρι και στον καθρέφτη βλέπουμε ότι…

  • Το ίδιο χέρι σηκώνεται, από την οπτική γωνία του ατόμου στον καθρέφτη, τότε είναι μια συμμετρική μήτρα.
  • Ο αντίθετος βραχίονας σηκώνεται, από τη σκοπιά του ατόμου στον καθρέφτη, τότε είναι μια αντισυμμετρική μήτρα.
  • Αν δεν σηκωθεί κανένα χέρι ή ανυψωθούν περισσότερα από ένα, από την οπτική γωνία του ατόμου στον καθρέφτη, τότε πρόκειται για μια μη συμμετρική μήτρα.

Σύντομη ιστορία του φιλελευθερισμού

  • Διαίρεση μήτρας
  • Δεύτερος Παγκόσμιος πόλεμος
  • Ρωσική Επανάσταση