Ένας αντίστροφος πίνακας είναι ο γραμμικός μετασχηματισμός ενός πίνακα πολλαπλασιάζοντας το αντίστροφο της ορίζουσας του πίνακα με τον μετατιθέμενο παρακείμενο πίνακα.
Με άλλα λόγια, ένας αντίστροφος πίνακας είναι ο πολλαπλασιασμός του αντιστρόφου της ορίζουσας με τον μετατιθέμενο παρακείμενο πίνακα.
Προτεινόμενα άρθρα: ορίζουσα πίνακα, τετράγωνος πίνακας, κύρια διαγώνιος και πράξεις με πίνακες.
Δίνεται οποιοσδήποτε πίνακας X τέτοιος ώστε
Τύπος αντίστροφου πίνακα μήτρας τάξης 2
Τότε ο αντίστροφος πίνακας του Χ θα είναι
Χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο λαμβάνουμε τον αντίστροφο πίνακα ενός τετραγωνικού πίνακα τάξης 2.
Ο παραπάνω τύπος μπορεί επίσης να εκφραστεί από την ορίζουσα του πίνακα.
Τύπος αντίστροφου πίνακα μήτρας τάξης 2
Οι δύο παράλληλες ευθείες γύρω από το X στον παρονομαστή δείχνουν ότι είναι η ορίζουσα του πίνακα X.
Όταν ένας τετραγωνικός πίνακας έχει αντίστροφο πίνακα, λέμε ότι είναι κανονικός πίνακας.
Απαιτήσεις
Για να βρούμε τον αντίστροφο πίνακα ενός πίνακα τάξης n πρέπει να πληρούμε τις ακόλουθες απαιτήσεις:
- Ο πίνακας πρέπει να είναι τετράγωνος πίνακας.
Ο αριθμός των σειρών (n) πρέπει να είναι ίδιος με τον αριθμό των στηλών (m). Δηλαδή, η σειρά του πίνακα πρέπει να είναι n δεδομένου ότι n = m.
- Η ορίζουσα πρέπει να είναι μη μηδενική (0).
Η ορίζουσα του πίνακα πρέπει να είναι μη μηδενική (0) αφού συμμετέχει στον τύπο ως παρονομαστής. Αν ο παρονομαστής ήταν μηδέν (0) θα είχαμε απροσδιοριστία.
Εάν ο παρονομαστής (ad – bc) = 0, δηλαδή η ορίζουσα του πίνακα X είναι ίση με μηδέν (0), τότε ο πίνακας X δεν έχει αντίστροφο πίνακα.
Ιδιοκτησία
Ένας τετράγωνος πίνακας X τάξης n θα έχει έναν αντίστροφο πίνακα X τάξης n, X -1 , έτσι ώστε να ικανοποιεί ότι
Η σειρά των στοιχείων του πολλαπλασιασμού δεν είναι σχετική, δηλαδή, ο πολλαπλασιασμός οποιουδήποτε τετραγωνικού πίνακα με τον αντίστροφο πίνακα του θα έχει πάντα ως αποτέλεσμα τον πίνακα ταυτότητας της ίδιας τάξης.
Σε αυτήν την περίπτωση, η σειρά του πίνακα X είναι 2. Άρα, μπορούμε να ξαναγράψουμε την προηγούμενη ιδιότητα ως:
Πρακτικό παράδειγμα
Βρείτε τον αντίστροφο πίνακα του πίνακα V.
Για να λύσουμε αυτό το παράδειγμα μπορούμε να εφαρμόσουμε τον τύπο ή να υπολογίσουμε πρώτα την ορίζουσα και μετά να την αντικαταστήσουμε.
Τύπος
Τύπος με προσδιοριστική
Αρχικά υπολογίζουμε την ορίζουσα του πίνακα V και μετά την αντικαθιστούμε στον τύπο.
Τότε, λαμβάνουμε ότι η ορίζουσα του πίνακα V είναι διαφορετική από το μηδέν (0) και μπορούμε να πούμε ότι ο πίνακας V έχει αντίστροφο πίνακα.
Λαμβάνουμε το ίδιο αποτέλεσμα χρησιμοποιώντας τον τύπο ή υπολογίζοντας πρώτα την ορίζουσα και μετά υποκαθιστώντας την.
Η σειρά του αντίστροφου πίνακα είναι ίδια με τη σειρά του αρχικού πίνακα. Σε αυτήν την περίπτωση, θα έχουμε τον ίδιο αριθμό σειρών n και στηλών m στον πίνακα V και V -1 .
Διαίρεση μήτρας