Wendepunkt

Der Wendepunkt einer mathematischen Funktion ist der Punkt, an dem der sie darstellende Graph seine Konkavität ändert. Das heißt, es geht von konkav zu konvex oder umgekehrt.

Wendepunkt

Der Wendepunkt ist mit anderen Worten der Moment, in dem die Funktion den Trend ändert.

Um eine Idee zu bekommen, betrachten wir es zunächst in einer grafischen Darstellung, grob:

Wendepunkt 1 1

Es sollte beachtet werden, dass eine Funktion mehr als einen Wendepunkt haben kann oder diese überhaupt nicht haben kann. Eine Linie hat beispielsweise keinen Wendepunkt.

Sehen wir uns im folgenden Diagramm ein Beispiel für eine Funktion mit mehr als einem Wendepunkt an:

Wendepunkte

Mathematisch wird der Wendepunkt berechnet, indem die zweite Ableitung der Funktion gleich Null gesetzt wird. Daher lösen wir nach der Wurzel (oder den Wurzeln) dieser Gleichung auf und nennen sie Xi.

Dann ersetzen wir Xi in der dritten Ableitung der Funktion. Wenn das Ergebnis ungleich Null ist, stehen wir vor einem Wendepunkt.

Wenn das Ergebnis jedoch Null ist, müssen wir in den aufeinanderfolgenden Ableitungen ersetzen, bis der Wert dieser Ableitung, sei es die dritte, vierte oder fünfte, von 0 verschieden ist. Wenn die Ableitung ungerade ist, ist es ein Wendepunkt , aber wenn es auch nein ist.

Wendepunkt-Beispiel

Schauen wir uns als nächstes ein Beispiel an.

Angenommen, wir haben die folgende Funktion:

y = 2x 4 + 5x 3 + 9x + 14

y ‚= 8x 3 + 15x 2 +9

y »= 24x 2 + 30x = 0

24x = -30

Xi = -1,25

Dann ersetzen wir Xi in der dritten Ableitung:

y »’= 48x

y »’= 48x-1,25 = -60

Da das Ergebnis von Null verschieden ist, befinden wir uns vor einem Wendepunkt, der wäre, wenn x gleich -1,25 und y gleich -2,1328 ist, wie wir in der folgenden Grafik veranschaulichen.

Dabei ist zu beachten, dass die Funktion einen Wendepunkt hat:

Wendepunkt

Schauen wir uns nun ein weiteres Beispiel an:

y = x 4 -54x 2

y ‚= 4x 3 -108x

y »= 12x 2 -108 = 0

x 2 = 9

Xi = 3 und -3

Dann ersetzen wir die beiden Wurzeln in der dritten Ableitung:

y »’= 24x

y »’= 24 × 3 = 72

y »’= 24x-3 = -72

Da das Ergebnis ungleich Null ist, haben wir zwei Wendepunkte bei (3.567) und (-3.567).

Um die Informationen zu ergänzen, laden wir Sie ein, den Flexionsartikel zu besuchen, in dem wir dieses Konzept allgemeiner behandeln: