Eine nicht symmetrische Matrix ist eine nicht quadratische Matrix, bei der sich die Elemente der transponierten Matrix an anderen Positionen befinden als die Elemente der ursprünglichen Matrix.
Mit anderen Worten, die nicht symmetrische Matrix ist eine Matrix, bei der sich die Anzahl der Zeilen (n) von der Anzahl der Spalten (m) unterscheidet und die Transponierte der Matrix sich von der ursprünglichen Matrix unterscheidet.
Es ist wichtig, nicht symmetrische Matrizen nicht mit antisymmetrischen Matrizen zu verwechseln, da es sich um sehr unterschiedliche Konzepte handelt und sich auf unterschiedliche Elemente innerhalb der Matrix beziehen.
Damit eine Matrix symmetrisch ist, muss sie eine quadratische Matrix sein und gleich ihrer transponierten Matrix sein. Mit anderen Worten, dass die Anzahl der Zeilen (n) gleich der Anzahl der Spalten (m) ist und dass sich die Elemente der Matrix nicht ändern, nachdem die Zeilen durch die Spalten geändert wurden.
Mathematisch bedeutet das Konzept der Symmetrie, dass sich die Elemente der Matrix bei Anwendung der Transponierungsoperation nicht ändern.
Die symmetrische Matrix und Spiegel
Wir werden das Konzept einer nicht symmetrischen Matrix besser verstehen, wenn wir über die Wirkung nachdenken, die ein Spiegel erzeugt.
Wenn wir in den Spiegel schauen, sehen wir unser Gesicht gespiegelt; Wenn wir eine Hand heben, wird sich auch eine Hand im Spiegel erheben. Auf die gleiche Weise, wie wenn wir eine Geste machen, wird dieselbe reflektierte Geste angezeigt.
Das gleiche passiert mit der Hauptdiagonale einer symmetrischen Matrix. Elemente unterhalb oder oberhalb der Hauptdiagonale sind gleich. Das heißt, die Hauptdiagonale einer symmetrischen Matrix wirkt wie ein Spiegel der sie umgebenden Elemente.
Gegeben eine symmetrische Matrix S ,
Die transponierte Matrix S hätte folgende Form:
Weitere Informationen zu den mathematischen Eigenschaften finden Sie im Artikel über symmetrische Matrix.
Die unsymmetrische Matrix und Spiegel
Im Fall der nicht symmetrischen Matrix ist es, als ob der Spiegel zerbrochen wäre.
Und wenn ein Spiegel zerbrochen ist, reflektiert er die Elemente davor nicht gut. Wir können die rechte Hand heben und sehen, dass vier Hände gehoben werden oder keine.
Bei Anwendung derselben Logik geht es bei der nicht symmetrischen Matrix also darum, nicht die gleichen Elemente über oder unter der Hauptdiagonale zu haben und auch nicht gleich zu sein.
So dass:
In dieser Matrix können wir die Hauptdiagonale nicht finden und daher gibt es keine Symmetrie in der Anzahl der Elemente. Wenn wir die vorherige Matrix transponieren, sehen wir außerdem, dass sie ihren ursprünglichen Zustand nicht beibehält.
Die transponierte NS- Matrix hätte folgende Form:
Zusammenfassung
Wenn wir auf das Konzept einer nicht symmetrischen Matrix stoßen, müssen wir nur über die symmetrische Matrix nachdenken und ihren Eigenschaften eine Negation voranstellen. Das heißt, eine nicht symmetrische Matrix ist so, dass sie erfüllt:
- Nicht- quadratische Matrix.
- Transponierte Matrix nicht gleich Originalmatrix.
Es mag leicht erscheinen, sich daran zu erinnern, was eine nichtsymmetrische Matrix ist, aber wenn wir mit antisymmetrischen Matrizen arbeiten, verwechseln wir manchmal die Konzepte.
Antisymmetrische Matrix