Symmetrische Matrix

Eine symmetrische Matrix ist eine Matrix der Ordnung n mit der gleichen Anzahl von Zeilen und Spalten, bei der ihre transponierte Matrix gleich der ursprünglichen Matrix ist.

Mit anderen Worten, eine symmetrische Matrix ist eine quadratische Matrix und ist identisch mit der Matrix, nachdem Zeilen gegen Spalten und Spalten gegen Zeilen getauscht wurden.

Anforderungen

Damit eine Matrix eine symmetrische Matrix ist, muss sie die folgenden Einschränkungen erfüllen:

Gegeben eine symmetrische Matrix P der Ordnung n,

• Sei eine quadratische Matrix .

Die Anzahl der Zeilen (n) muss gleich der Anzahl der Spalten (m) sein. Das heißt, die Ordnung der Matrix muss n sein, wenn n = m gilt.

• Die ursprüngliche Matrix muss gleich ihrer transponierten Matrix sein .

Demonstration:

Eigenschaften

• Die adjungierte Matrix einer symmetrischen Matrix ist auch eine symmetrische Matrix.

Demonstration:

• Die Addition oder Subtraktion zweier symmetrischer Matrizen führt zu einer weiteren symmetrischen Matrix.

Demonstration:

Gegeben zwei symmetrische Matrizen P und T der Ordnung 3 erhalten wir aus der Summe eine weitere symmetrische Matrix S.

Warum heißt sie symmetrische Matrix?

Die Symmetrieeigenschaft wird durch die Elemente um die Hauptdiagonalen gegeben. Da eine quadratische Matrix eine symmetrische Matrix ist, hat sie immer die gleiche Anzahl von Elementen oberhalb und unterhalb der Hauptdiagonale. Diese Elemente sind symmetrisch gleich. Das heißt, die Hauptdiagonale wirkt wie ein Spiegel.

Beweis der Symmetrie und Schiefe einer Matrix

Symmetrische Matrix

Der Buchstabe d steht für die Elemente der Hauptdiagonalen. Die anderen Buchstaben stehen für eine beliebige reelle Zahl. Wir sehen, dass die Hauptdiagonale wie ein Spiegel wirkt: Sie reflektiert die Elemente auf beiden Seiten. Mit anderen Worten, wenn die Elemente auf beiden Seiten der Diagonalen symmetrisch gleich sind, sagen wir, dass die Matrix P eine symmetrische Matrix ist.

Unsymmetrische Matrix

Matrix X ist keine symmetrische Matrix, da sie keine quadratische Matrix ist und ihre transponierte Matrix sich von der ursprünglichen Matrix unterscheidet. Außerdem hat es auch keine Hauptdiagonale.