Konvexität einer Bindung

Die Konvexität einer Anleihe ist die Steigung der Kurve, die Preis und Rentabilität in Beziehung setzt. Misst die Änderung der Duration der Anleihe aufgrund einer Änderung der Rentabilität.

Konvexität einer Bindung

Mathematisch wird sie als zweite Ableitung der Preis-Profitabilitäts-Kurve ausgedrückt. Die Formel lautet wie folgt:

Die Kursschwankung einer Anleihe bei Zinsänderungen ist die Summe der Schwankung durch die modifizierte Duration und der Schwankung durch die Konvexität der Anleihe.

Wenn die Konvexität einer Anleihe 100 beträgt, ändert sich der Preis der Anleihe zusätzlich zu der durch die Duration berechneten Zinsänderung um 1 % pro 1 % Zinsänderung. Wenn die Konvexität einer Anleihe gleich Null ist, ändert sich der Preis der Anleihe bei Änderungen der Zinssätze um den durch die Duration der Anleihe motivierten Betrag.

Beziehungskonvexität einer Anleihe und Dauer einer Anleihe

Die Konvexität einer Anleihe bietet uns ein viel genaueres Maß für die Kurs-Rendite-Änderungen einer Anleihe. Die Duration einer Anleihe setzt voraus, dass das Verhältnis zwischen Kurs und Rendite konstant ist. Die Realität sieht jedoch ganz anders aus. Angesichts geringer Preis-Rentabilitätsschwankungen ist die Dauer daher ein akzeptables Maß. Aber für größere Variationen wird die Berechnung der Konvexität unerlässlich.

Mathematisch mag es wie ein abstrakter Begriff erscheinen. Da es grafisch viel einfacher zu verstehen ist, sehen wir es uns dargestellt an. In den folgenden beiden Grafiken sehen wir sowohl die Dauer als auch die Konvexität dargestellt.

Je niedriger die Rentabilität der Anleihe, desto höher ihr Kurs. Umgekehrt gilt: Je höher die Rentabilität der Anleihe, desto niedriger ihr Preis. Natürlich ändert sich der Preis nicht im gleichen Verhältnis, wenn sich seine Rentabilität von 10 auf 12% ändert, als wenn er sich von 1 auf 2% ändert. Dies berücksichtigt die Konvexität. Die Dauer geht davon aus, dass die Preisänderung jedes Mal gleich ist. Während die Konvexität berücksichtigt, dass die Preisänderung nicht konstant ist. Der Unterschied zwischen der blauen Linie und der orangefarbenen Linie ist die Konvexität selbst. Die orangefarbene Linie ist die Kursänderung der Anleihe unter Berücksichtigung der Duration. Schließlich repräsentiert die blaue Linie die Kursänderungen der Anleihe unter Berücksichtigung von Duration und Konvexität.

Beispiel für die Konvexität einer Bindung

Wir haben eine Anleihe mit einer Laufzeit von 10 Jahren. Der Kupon beträgt 7% und die Anleihe hat einen Nennwert von 100 Euro. Der Markt-IRR beträgt 5 %. Das bedeutet, dass Anleihen mit ähnlichen Eigenschaften eine Rendite von 5 % bieten. Oder was ist das gleiche 2% weniger. Die Couponzahlung erfolgt jährlich.

Um wie viel ändert sich der Kurs der Anleihe, wenn die Rendite der Anleihe von 7 % auf 5 % sinkt? Um die Schwankung zu berechnen, die der Preis bei einer Änderung des Zinssatzes hätte, benötigen wir folgende Formeln:

Berechnung des Kurses der Anleihe:

Berechnung der Bonusdauer:

Berechnung der modifizierten Duration:

Berechnung der Konvexität:

Berechnung der Variation der Dauer:

Berechnung der Variation der Konvexität:

Berechnung der Kursänderung der Anleihe:

Laden Sie die Excel-Tabelle herunter, um alle detaillierten Berechnungen anzuzeigen

Mit den oben genannten Formeln erhalten wir folgende Daten:

Anleihekurs = 115,44

Dauer = 7,71

Geänderte Dauer = 7,34

Konvexität = 69,73

Die Kursschwankung bei einem Rückgang der Anleihe um 2 % beträgt + 14,68 % unter Berücksichtigung der Duration. Die Kursänderung der Anleihe unter Berücksichtigung der Konvexität beträgt + 1,39%. Um die Gesamtvariation des Preises zu erhalten, müssen wir die beiden Variationen addieren. Die Berechnung zeigt, dass bei einem Rückgang dieser Anleihe um 2 % der Kurs um 16,07 % steigen würde.