Größter gemeinsamer Faktor (GCF)

Größter gemeinsamer Teiler (GCF)

Größter gemeinsamer Teiler

Der größte gemeinsame Teiler (GCF) ist die größte Zahl, durch die zwei oder mehr Zahlen geteilt werden können. Dies, ohne Rückstände zu hinterlassen.

Das heißt, der größte gemeinsame Teiler oder GCF ist die höchste Zahl, durch die eine Menge von Zahlen geteilt werden kann, was eine ganze Zahl ergibt.

Ein Teiler kann formal als die Zahl definiert werden, die in einem anderen genau n-mal enthalten ist.

Es ist zu beachten, dass die Zahlen, auf denen der GCF berechnet wird, ungleich Null sein müssen.

Um es besser zu erklären, schauen wir uns ein Beispiel an. Angenommen, wir haben 35 und 15. Somit beobachten wir, was die Teiler von jedem sind:

  • Teiler von 35 → 35,7,5,1
  • Teiler von 15 → 15,5,3,1

Daher ist der größte gemeinsame Faktor von 35 und 15 5.

Es ist erwähnenswert, dass, wenn die gemeinsamen Teiler zweier Zahlen nur 1 und -1 sind, sie "primer zueinander" genannt werden.

Methoden zur Berechnung des größten gemeinsamen Teilers

Wir können die folgenden drei Methoden unterscheiden, um den größten gemeinsamen Teiler zu berechnen:

  • Zerlegung in Primfaktoren: Zahlen werden in Primzahlen zerlegt. Um dann den GCF zu berechnen, nehmen wir die gewöhnlichen Zahlen mit der niedrigsten Potenz. Angenommen, wir haben 216 und 156:

216/2 = 108

108/2 = 54

54/2 = 27

27/3 = 9

9/3 = 3

3/3 = 1

216 = (3 ^ 3) * (2 ^ 3)

156/2 = 78

78/2 = 39

39/3 = 13

13/13 = 1

156 = 13 * 3 * (2 ^ 2)

Daher wäre der größte gemeinsame Teiler zwischen beiden Zahlen: (2 ^ 2) * 3 = 12

Nehmen wir nun an, wir haben drei Elemente: 315, 441 und 819

315 = (3 ^ 2) * 7 * 5

441 = (3 ^ 2) * (7 ^ 2)

819 = (3 ^ 2) * 7 * 13

Dann, nach ihrer Aufgliederung, indem jeder Teiler mit seiner niedrigsten Potenz genommen wird, wäre das Ergebnis:

GCF = (3 ^ 2) * 7 = 63

  • Der Algorithmus von Euklid : Indem wir a durch b dividieren, erhalten wir einen Quotienten c und r . Der größte gemeinsame Teiler von a und b ist also derselbe wie der von b und r . Dies unter folgenden Voraussetzungen : a = bc + r . Um es besser zu verstehen, wenden wir diese Methode auf das zuvor gezeigte Beispiel mit 216 und 156 an.

216/156 = 1 mit Rest von 60

jetzt teilen wir 156/60 = 2 mit Rest 36

Wir teilen 60/36 = 1 wieder mit Rest 24

Wir teilen wieder 36/24 = 1 mit Rest 12

Und schließlich dividieren wir 24/12 = 2 mit Rest 0

Daher ist der größte gemeinsame Teiler 12. Wie wir sehen, müssen wir teilen, bis der Rest 0 ist und der letzte Teiler der GCF ist.

  • Basierend auf dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen : Die Zahlen werden multipliziert und das Ergebnis durch ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches (LCM) dividiert.
Mcd 1

Wir müssen uns daran erinnern, dass das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) die kleinste Zahl ist, die die Bedingung erfüllt, ein Vielfaches aller Elemente einer Menge von Zahlen zu sein.

Das heißt, zurück zum gleichen Beispiel können wir wie folgt zerlegen:

216 = (3 ^ 3) * (2 ^ 3) und 156 = 13 * 3 * (2 ^ 2) 204 = 3 * (2 ^ 2) * 17 168 = 3 * (2 ^ 3) * 7

Das kleinste gemeinsame Vielfache wäre: (3 ^ 3) * (2 ^ 3) * 13 * 17 * 7 = 334.152

Also: GCD = 216 * 156 / 2,808 = 12

Es ist erwähnenswert, dass diese Methode nur für zwei Zahlen funktioniert.

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