Determinante einer Matrix

Die Determinante einer Matrix der Dimension mxn ist das Ergebnis der Subtraktion der Multiplikation der Elemente der Hauptdiagonale mit der Multiplikation der Elemente der Nebendiagonale.

Determinante einer Matrix

Mit anderen Worten, die Determinante einer 2 × 2-Matrix erhält man, indem man ein X über ihre Elemente zieht. Zuerst zeichnen wir die Diagonale, die oben auf der linken Seite des X beginnt (Hauptdiagonale). Dann zeichnen wir die Diagonale, die oben rechts vom X beginnt (sekundäre Diagonale).

Um die Determinante einer Matrix zu berechnen, muss ihre Dimension die gleiche Anzahl von Zeilen (m) und Spalten (n) haben. Daher ist m = n . Die Dimension eines Arrays wird als Multiplikation der Zeilendimension mit der Spaltendimension dargestellt.

Es gibt andere komplexere Methoden, um die Determinante einer Matrix mit einer Dimension größer als 2 × 2 zu berechnen. Diese Formen sind als Laplace-Regel und Sarrus-Regel bekannt.

Die Determinante kann auf zwei Arten angegeben werden:

  • Det ( Z )
  • | Z mxn |

Wir nennen (m) für die Dimension der Zeilen und (n) für die Dimension der Spalten. Eine m x n- Matrix hat also m Zeilen und n Spalten:

  • i repräsentiert jede der Zeilen einer Matrix Z mxn .
  • j repräsentiert jede der Spalten einer Matrix Z mxn .

Empfohlene Artikel: Matrixtypologien, invertierte Matrix.

Eigenschaften von Determinanten

  1. | Z mxn | gleich der Determinante einer Z mxn transponierten Matrix:
Determinante einer Eigenschafts-1-Matrix
  • Die inverse Determinante einer invertierbaren Z mxn- Matrix ist gleich der Determinante einer inversen Z mxn- Matrix:
Determinante einer Property-2-Matrix
  • Die Determinante einer singulären Matrix S mxn (nicht invertierbar) ist 0.

S mxn = 0

  • | Z mxn |, wobei m = n, multipliziert mit einer beliebigen Konstanten h ist:
Determinante einer Property-4-Matrix
  • Die Determinante des Produkts zweier Matrizen Z mxn und X mxn mit m = n ist gleich dem Produkt der Determinanten von Z mxn und X mxn
Determinante einer Eigenschafts-5-Matrix

Praxisbeispiel

2 × 2-dimensionale Matrix

Eine Matrix der Dimension 2 × 2 hat als Determinante die Subtraktion des Produkts der Elemente der Hauptdiagonalen mit dem Produkt der Elemente der Nebendiagonale.

Wir definieren Z 2 × 2 als:

Determinantes Beispiel einer Matrix 1

Die Berechnung seiner Determinante wäre:

Determinante Beispiel 2

Beispiel für die Berechnung des Bestimmungsgeräts

Determinantes Praxisbeispiel 3

Die Determinante der Matrix X 2 × 2 ist 14.

Determinantes Praxisbeispiel 4

Die Determinante der G 2 × 2- Matrix ist 0.