Antisymmetrische Matrix

Antisymmetrische Matrix

Spiegel 1

Eine antisymmetrische Matrix ist eine quadratische Matrix, bei der die Elemente außerhalb der Hauptdiagonale symmetrisch gleich sind, die unterhalb der Hauptdiagonale jedoch ein negatives Vorzeichen tragen.

Mit anderen Worten, eine antisymmetrische Matrix ist eine Matrix mit der gleichen Anzahl von Zeilen (n) und Spalten (m) und die Elemente auf beiden Seiten der Hauptdiagonale sind komplementär.

Da die Elemente oberhalb und unterhalb der Hauptdiagonale versetzt sind, sind die Elemente auf der Hauptdiagonale Nullen.

Empfohlener Artikel: asymmetrische Matrix und symmetrische Matrix.

Eigenschaften der antisymmetrischen Matrix

Die Eigenschaften einer antisymmetrischen Matrix sind:

  • Quadratische Matrix.
  • Symmetrische Matrix + negatives Vorzeichen (-) in den Elementen unterhalb der Hauptdiagonale.
  • Elemente der Hauptdiagonalen sind Nullen (0).

Antisymmetrische Matrix

Gegeben eine quadratische Matrix AS ,

Antisymmetrische Matrix 1
Antisymmetrische Matrix

Wir können sehen, wie auf beiden Seiten der Hauptdiagonale die gleichen Elemente erscheinen, jedoch mit der Besonderheit, dass die Elemente unterhalb der Hauptdiagonale ein negatives Vorzeichen haben. Außerdem besteht die Hauptdiagonale aus Nullen.

Die antisymmetrische Matrix und Spiegel

Ebenso wie die symmetrische Matrix kann auch die antisymmetrische Matrix am Beispiel des Spiegels verstanden werden.

Spiegel 1
Spiegel

Wenn wir uns im Spiegel betrachten und unseren rechten Arm heben, werden wir sehen, dass die Person im Spiegel ihren linken Arm hebt. Mit anderen Worten, die Bewegung des Spiegels ergänzt unsere und die Summe beider würde daher Null ergeben.

Wir können die obige Idee wie folgt ausdrücken und folgern:

(Erhebe die rechte Hand) (Erhebe die linke Hand) = 0

(Erhebe die rechte Hand) = (Erhebe die linke Hand)

Die Hauptdiagonale wirkt wie ein Spiegel und wir sehen auf beiden Seiten der Hauptdiagonale gegensätzliche Elemente. Die neutrale Funktion (=) wird auf die Hauptdiagonale abgebildet.

Eigentum

  • Die transponierte Matrix einer antisymmetrischen Matrix ist gleich der antisymmetrischen Matrix multipliziert mit (-1).

Mit anderen Worten, es wäre, als würde man vor der antisymmetrischen Matrix ein negatives Vorzeichen hinzufügen.

Mathematisch,

Antisymmetrische Matrixeigenschaft 1
Eigenschaft der antisymmetrischen Matrix

Wir können sehen, dass wir mit beiden Verfahren zum gleichen Ergebnis kommen: die transponierte Matrix machen oder mit (-1) der antisymmetrischen Matrix multiplizieren.

Unsymmetrische Matrix vs. Antisymmetrische Matrix vs. Symmetrische Matrix

Das Beispiel des Spiegels im Fall der symmetrischen Matrix reicht aus, um die gleiche Bewegung widerzuspiegeln, dh wenn wir einen Arm heben, können wir einen angehobenen Arm sehen, aber es ist nicht notwendig, anzugeben, was es ist. Im Fall der antisymmetrischen Matrix müssen wir überprüfen, welchen Arm wir im Spiegel sehen und feststellen, ob es sich um eine antisymmetrische Matrix handelt.

Wenn wir einen Arm heben und im Spiegel sehen wir das …

  • Derselbe Arm wird aus der Sicht der Person im Spiegel angehoben, dann ist es eine symmetrische Matrix.
  • Der gegenüberliegende Arm wird aus der Sicht der Person im Spiegel angehoben, dann ist es eine antisymmetrische Matrix.
  • Wenn kein Arm oder mehr als ein Arm angehoben wird, handelt es sich aus Sicht der Person im Spiegel um eine nicht symmetrische Matrix.

Kurze Geschichte des Liberalismus

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