En symmetrisk matrix er en matrix af orden n med det samme antal rækker og kolonner, hvor dens transponerede matrix er lig med den oprindelige matrix.
Med andre ord er en symmetrisk matrix en kvadratisk matrix og er identisk med matrixen efter at have skiftet rækker til kolonner og kolonner med rækker.
Krav
For at enhver matrix skal være en symmetrisk matrix, skal den opfylde følgende begrænsninger:
Givet en symmetrisk matrix P af orden n,
- Vær en firkantet matrix .
Antallet af rækker (n) skal være det samme som antallet af kolonner (m). Det vil sige, rækkefølgen af matricen skal være n givet, at n = m.
- Den oprindelige matrix skal være lig med dens transponerede matrix .
Demonstration:
Ejendomme
- Den tilstødende matrix af en symmetrisk matrix er også en symmetrisk matrix.
Demonstration:
- Tilføjelse eller subtraktion af to symmetriske matricer resulterer i en anden symmetrisk matrix.
Demonstration:
Givet to symmetriske matricer P og T af størrelsesorden 3, får vi en anden symmetrisk matrix S fra summen.
Hvorfor kaldes det en symmetrisk matrix?
Egenskaben symmetri er givet af elementerne omkring hoveddiagonalen. Da en kvadratisk matrix er en symmetrisk matrix, vil den altid have det samme antal elementer over og under hoveddiagonalen. Disse elementer er ens symmetrisk. Det vil sige, at hoveddiagonalen fungerer som et spejl.
Bevis for symmetri og skævhed af en matrix
Symmetrisk matrix
Bogstavet d repræsenterer elementerne i hoveddiagonalen. De andre bogstaver repræsenterer ethvert reelt tal. Vi kan se, at hoveddiagonalen fungerer som et spejl: den reflekterer elementerne på begge sider. Med andre ord, når elementerne på begge sider af diagonalen er symmetrisk ens, siger vi, at matrixen P er en symmetrisk matrix.
Ikke-symmetrisk matrix
Matrix X er ikke en symmetrisk matrix, da den ikke er en kvadratisk matrix, og dens transponerede matrix er forskellig fra den oprindelige matrix. Derudover har den heller ikke en hoveddiagonal.
Ikke-symmetrisk matrix