En ikke-symmetrisk matrix er en ikke-kvadratisk matrix, hvor elementerne i den transponerede matrix er i forskellige positioner end elementerne i den oprindelige matrix.
Med andre ord er den ikke-symmetriske matrix en matrix, hvor antallet af rækker (n) er anderledes end antallet af kolonner (m), og transponeringen af matrixen er forskellig fra den oprindelige matrix.
Det er vigtigt ikke at forveksle ikke-symmetriske matricer med antisymmetriske matricer, da de er meget forskellige begreber og refererer til forskellige elementer i matrixen.
For at en matrix skal være symmetrisk, skal den være en kvadratisk matrix, og den skal være lig med dens transponerede matrix. Med andre ord, at antallet af rækker (n) er lig med antallet af kolonner (m), og at elementerne i matricen ikke ændres, når først rækkerne er blevet ændret af kolonnerne.
Matematisk betyder symmetribegrebet, at når man anvender transponeringsoperationen, vil elementerne i matrixen ikke ændre sig.
Den symmetriske matrix og spejle
Vi vil bedre forstå begrebet en ikke-symmetrisk matrix, hvis vi tænker på den effekt, som et spejl frembringer.
Hvis vi ser os i spejlet, vil vi se vores ansigt reflekteret; hvis vi løfter en hånd, vil en hånd også rejse sig i spejlet. På samme måde, som hvis vi laver en gestus, vil den samme reflekterede gestus dukke op.
Nå, det samme sker med hoveddiagonalen af en symmetrisk matrix. Elementer under eller over hoveddiagonalen vil være de samme. Det vil sige, at hoveddiagonalen af en symmetrisk matrix fungerer som et spejl af elementerne omkring den.
Givet en symmetrisk matrix S ,
Den transponerede matrix S ville have følgende form:
For mere information om dets matematiske egenskaber, se artiklen om symmetrisk matrix.
Den ikke-symmetriske matrix og spejle
I tilfælde af den ikke-symmetriske matrix er det, som om spejlet var ødelagt.
Og når et spejl er i stykker, reflekterer det ikke godt elementerne foran det. Vi kan løfte højre hånd og se, at fire hænder er hævet eller ingen hæves.
Så ved at anvende den samme logik handler den ikke-symmetriske matrix om ikke at have de samme elementer over eller under hoveddiagonalen, og også at de ikke er ens.
Sådan at:
I denne matrix kan vi ikke finde hoveddiagonalen, og derfor er der ingen symmetri i antallet af elementer. Desuden, hvis vi transponerer den forrige matrix, vil vi se, at den ikke bevarer sin oprindelige tilstand.
Den transponerede NS- matrix ville have følgende form:
Resumé
Når vi støder på begrebet en ikke-symmetrisk matrix, skal vi kun tænke på den symmetriske matrix og sætte en negation foran dens karakteristika. Det vil sige, at en ikke-symmetrisk matrix vil være sådan, at den opfylder:
- Ikke- kvadratisk matrix.
- Transponeret matrix er ikke lig med original matrix.
Det kan virke let at huske, hvad en ikke-symmetrisk matrix er, men når vi arbejder med antisymmetriske matricer, forveksler vi nogle gange begreberne.
Antisymmetrisk matrix