Identitetsmatrix

Identitetsmatrix

Identitetsmatrix

En identitetsmatrix eller enhed af orden n er en kvadratisk matrix, hvor alle dens elementer er nuller (0) minus elementerne i hoveddiagonalen, der er etaller (1).

Med andre ord har en identitetsmatrix kun enere (1) på hoveddiagonalen og alle andre elementer i matrixen med nuller (0). Desuden er identitetsmatrixen anerkendt som at have en kvadratisk form, da den er en kvadratisk matrix.

Repræsentation af en identitetsmatrix

Skærmbillede 2019 07 25 A Les 11.50.35
Eksempler på identitetsmatricer

Vi kan skabe uendelige kombinationer af enhedsmatricer, så længe vi respekterer betingelsen om at være en kvadratisk matrix: have det samme antal rækker (n) og kolonner (m).

Ejendomme

Når vi udfører operationer med enhedsmatrixen, bør vi ikke blive nervøse. Vi skal tænke på identitetsmatrixen som nummer et (1).

Nummer 1

  • Når vi multiplicerer med et (1) et hvilket som helst andet tal, står vi tilbage med det samme tal ( neutralitet ). Givet en konstant z eller skalar enhver:
Skærmbillede 2019 07 25 A Les 11.53.12
Neutral effekt af at gange en konstant med tallet et (1).
  • Hvis vi gør det omvendte af tallet et (1), får vi det samme nummer et (1) ( invertibel ).
Skærmbillede 2019 07 25 At Les 11.54.00
Neutral effekt af at gøre det omvendte af nummer et (1).
  • Når vi hæver tallet et (1) h-enheder, vil vi altid have tallet et (1) ( idempotens ).
Skærmbillede 2019 07 25 A Les 11.54.06
Neutral effekt af at hæve tallet et (1) til en konstant h.

Identitetsmatrix

  • Neutralitet Når enhedsmatrixen deltager i en multiplikation af matricer, kaldes det et neutralt produkt. Givet enhver matrix Z:
Skærmbillede 2019 07 25 A Les 11.54.11
Neutral effekt af at gange identitetsmatrixen med en hvilken som helst matrix.
  • Vendbar . Den inverse matrix af enhedsmatrixen er identitetsmatrixen:
Skærmbillede 2019 07 25 A Les 11.54.17
Neutral effekt af invertering af identitetsmatrix.
  • Idempotens . Den hævede inverse matrix h-enheder (naturligt tal) er stadig enhedsmatrixen:
Skærmbillede 2019 07 25 A Les 11.54.22
Neutral effekt af at hæve identitetsmatrixen med h enheder.

Procedure til at identificere en identitetsmatrix

  1. Matrixen skal være en kvadratisk matrix.
  2. Matrixen skal have enere (1) på hoveddiagonalen og nuller (0) i de andre positioner.

Ansøgninger

Identitetsmatrixen deltager lige så mange gange som nummer et (1) deltager i algebra. For eksempel, når vi multiplicerer en hvilken som helst matrix med dens inverse matrix, får vi enhedsmatrixen.

Teoretisk eksempel

Er følgende matricer identitetsmatricer?

Skærmbillede 2019 07 25 A Les 11.54.31
Eksempler på identitetsmatricer og ikke-identitetsmatricer.

Matrix IA:

  • Firkantet matrix.
  • Ikke-identitetsmatrix: på hoveddiagonalen er der et andet tal end én (1), og i de andre positioner er der et andet tal end nul (0).

Matrix IB:

  • Ikke kvadratisk matrix.
  • Ingen identitetsmatrix.

IC matrix:

  • Ikke kvadratisk matrix.
  • Ingen identitetsmatrix.

Matrix-id:

  • Firkantet matrix.
  • Identitetsmatrix: i hoveddiagonalen er der enere (1) og i de andre positioner er der nuller (0).

IE matrix:

  • Firkantet matrix.
  • Ingen identitetsmatrix: Selvom der i de andre positioner er nuller (0), er der i hoveddiagonalen et andet tal end et (1).

Antisymmetrisk matrix

  • Matrix opdeling
  • Firkantet matrix
  • Hoveddiagonal