Forskellen mellem konkav og konveks kan forklares på følgende måde → Begrebet konveks refererer til, at en overflade har en indadgående krumning, mens hvis den var konkav ville krumningen være udad.
Derfor kan vi beskrive det på en anden måde. Den centrale del af en konkav overflade er mere deprimeret eller deprimeret. På den anden side, hvis den var konveks, ville den centrale del vise en fremtrædende plads.
For at forstå det bedre kan vi nævne nogle eksempler. For det første det klassiske tilfælde af en kugle, hvis overflade er konveks. Men hvis vi skærer det i to og beholder den nederste halvdel, ville vi have en konkav genstand med et nedbøjning (forudsat at det indre af kuglen er tom).
Et andet eksempel på konveks ville være et bjerg, da det er en fremtrædende plads i forhold til jordens overflade. Tværtimod er en brønd konkav, da indtræden i den indebærer at synke under jordens overflade.
Det skal også bemærkes, at for at definere et objekt som konkavt eller konveks perspektiv også skal tages i betragtning. Således er en skål suppe f.eks., når den er klar til servering, konkav, den har et hænge. Men hvis vi vender den om, bliver pladen konveks.
På den anden side er de i tilfælde af parabler konvekse, hvis de har en U-form, men konkave, hvis de har en omvendt U-form.
Konkave og konvekse funktioner
Hvis den anden afledede af en funktion er mindre end nul i et punkt, så er funktionen konkav i det punkt. På den anden side, hvis den er større end nul, er den konveks på det tidspunkt. Ovenstående kan udtrykkes som følger:
Hvis f »(x) <0, f (x), er den konkav.
Hvis f »(x)> 0, f (x) er den konveks.
For eksempel, i ligningen f (x) = x 2 + 5x-6, kan vi beregne dens første afledede:
f ‘(x) = 2x + 5
Så finder vi den anden afledede:
f »(x) = 2
Derfor, da f »(x) er større end 0, er funktionen konveks for hver værdi af x, som vi ser i grafen nedenfor:
Lad os nu se tilfældet med denne anden funktion: f (x) = – 4x 2 + 7x + 9.
f ‘(x) = – 8x + 7
f »(x) = – 8
Derfor, da den anden afledede er mindre end 0, er funktionen konkav for hver værdi af x.
Men lad os nu se på følgende ligning: -5 x 3 + 7x 2 +5 x-4
f ‘(x) = – 15x 2 + 14x + 5
f »(x) = – 30x + 14
Vi sætter den anden afledede lig med nul:
-30x + 14 = 0
x = 0,4667
Så når x er større end 0,4667, er f »(x) større end nul, så funktionen er konveks. Mens hvis x er mindre end 0,4667, er funktionen konkav, som vi ser i grafen nedenfor:
Konveks og konkav polygon
En konveks polygon er en, hvor to af dens punkter kan forbindes ved at tegne en ret linje, der forbliver i figuren. Ligeledes er dens indvendige vinkler alle mindre end 180º.
På den anden side er en konkav polygon en, hvor der for at forbinde to af dens punkter skal tegnes en ret linje uden for figuren, hvilket er en udvendig diagonal, der forbinder to hjørner. Desuden er mindst en af dens indvendige vinkler større end 180º.
Vi kan se en sammenligning på billedet nedenfor:
