Antisymmetrisk matrix

Antisymmetrisk matrix

Spejl 1

En antisymmetrisk matrix er en kvadratisk matrix, hvor elementerne uden for hoveddiagonalen er symmetrisk lige store, men dem under hoveddiagonalen har et negativt fortegn.

Med andre ord er en antisymmetrisk matrix en matrix, der har det samme antal rækker (n) og kolonner (m), og elementerne på begge sider af hoveddiagonalen er komplementære.

Da elementerne over og under hoveddiagonalen er forskudt, er elementerne på hoveddiagonalen nul.

Anbefalet artikel: ikke-symmetrisk matrix og symmetrisk matrix.

Karakteristika for den antisymmetriske matrix

Karakteristikaene for en antisymmetrisk matrix er:

  • Firkantet matrix.
  • Symmetrisk matrix + minustegn (-) i elementerne under hoveddiagonalen.
  • Elementer i hoveddiagonalen er nuller (0).

Antisymmetrisk matrix

Givet en kvadratisk matrix AS ,

Antisymmetrisk matrix 1
Antisymmetrisk matrix

Vi kan se, hvordan de samme elementer optræder på begge sider af hoveddiagonalen, men med den særlige karakter, at elementerne under hoveddiagonalen har et negativt fortegn foran. Desuden består hoveddiagonalen af ​​nuller.

Den antisymmetriske matrix og spejle

På samme måde som den symmetriske matrix kan den antisymmetriske matrix også forstås gennem eksemplet med spejlet.

Spejl 1
Spejl

Hvis vi ser os selv i spejlet og løfter vores højre arm, vil vi se, at personen i spejlet løfter venstre arm. Med andre ord, spejlets bevægelse komplementerer vores, og derfor ville summen af ​​begge resultere i nul.

Vi kan udtrykke ovenstående idé som følger og udlede:

(Læft højre hånd) (løft venstre hånd) = 0

(løft højre hånd) = (løft venstre hånd)

Hoveddiagonalen fungerer som et spejl, og vi ser modstående elementer på begge sider af hoveddiagonalen. Den neutrale funktion (=) er knyttet til hoveddiagonalen.

Ejendom

  • Den transponerede matrix af en antisymmetrisk matrix er lig med den antisymmetriske matrix ganget med (-1).

Med andre ord ville det være som at tilføje et negativt tegn foran den antisymmetriske matrix.

Matematisk,

Antisymmetrisk matrixegenskab 1
Egenskab for den antisymmetriske matrix

Vi kan se, at vi med begge procedurer når frem til det samme resultat: at lave den transponerede matrix eller gange med (-1) den antisymmetriske matrix.

Ikke-symmetrisk matrix vs antisymmetrisk matrix vs symmetrisk matrix

Eksemplet på spejlet i tilfælde af den symmetriske matrix er nok til, at det afspejler den samme bevægelse, det vil sige, hvis vi løfter en arm, kan vi se en løftet arm, men det er ikke nødvendigt at specificere, hvad det er. I tilfælde af den antisymmetriske matrix skal vi tjekke, hvilken arm vi ser i spejlet og afgøre, om det er en antisymmetrisk matrix.

Hvis vi løfter en arm og i spejlet ser vi, at …

  • Den samme arm er hævet, set fra personen i spejlet, så er det en symmetrisk matrix.
  • Den modsatte arm er hævet, set fra personen i spejlet, så er det en antisymmetrisk matrix.
  • Hvis ingen arm er hævet eller mere end én løftes, set fra personen i spejlet, så er det en ikke-symmetrisk matrix.

Matrix opdeling

  • Hoveddiagonal
  • Vedhæftet matrix
  • Kolesky nedbrydning