Symetrická matice

Symetrická matice je matice řádu n se stejným počtem řádků a sloupců, kde její transponovaná matice je rovna původní matici.

Jinými slovy, symetrická matice je čtvercová matice a je identická s maticí poté, co byly řádky zaměněny za sloupce a sloupce za řádky.

Požadavky

Aby jakákoli matice byla symetrickou maticí, musí splňovat následující omezení:

Je-li dána symetrická matice P řádu n,

• Buďte čtvercová matice .

Počet řádků (n) musí být stejný jako počet sloupců (m). To znamená, že řád matice musí být n za předpokladu, že n = m.

• Původní matice se musí rovnat její transponované matici .

Demonstrace:

Vlastnosti

• Adjungovaná matice symetrické matice je také symetrická matice.

Demonstrace:

• Sečtením nebo odečtením dvou symetrických matic vznikne další symetrická matice.

Demonstrace:

Jsou-li dány dvě symetrické matice P a T řádu 3, získáme ze součtu další symetrickou matici S.

Proč se tomu říká symetrická matice?

Vlastnost symetrie je dána prvky kolem hlavní diagonály. Protože čtvercová matice je symetrická matice, bude mít vždy stejný počet prvků nad a pod hlavní diagonálou. Tyto prvky jsou symetricky stejné. To znamená, že hlavní úhlopříčka funguje jako zrcadlo.

Důkaz symetrie a šikmosti matice

Symetrická matice

Písmeno d představuje prvky hlavní diagonály. Ostatní písmena představují libovolné reálné číslo. Vidíme, že hlavní diagonála působí jako zrcadlo: odráží prvky na obou stranách. Jinými slovy, když jsou prvky na obou stranách úhlopříčky symetricky stejné, říkáme, že matice P je symetrická matice.

Nesymetrická matice

Matice X není symetrická matice, protože se nejedná o čtvercovou matici a její transponovaná matice se liší od původní matice. Navíc nemá ani hlavní úhlopříčku.