Rozdíl mezi konkávním a konvexním lze vysvětlit následovně → Termín konvexní označuje skutečnost, že povrch má zakřivení dovnitř, zatímco pokud by byl konkávní, zakřivení by bylo směrem ven.
Můžeme to tedy popsat i jinak. Střední část konkávního povrchu je více promáčknutá nebo promáčknutá. Na druhou stranu, pokud by byla konvexní, tato střední část by byla nápadná.
Abychom to lépe pochopili, můžeme uvést několik příkladů. Za prvé, klasický případ koule, jejíž povrch je konvexní. Pokud ji však rozřízneme na dvě části a ponecháme spodní polovinu, budeme mít konkávní objekt s prověšením (za předpokladu, že vnitřek koule je prázdný).
Dalším příkladem konvexu by byla hora, protože je to význačnost vzhledem k zemskému povrchu. Naopak studna je konkávní, protože vstup do ní znamená potopení, pod úroveň zemského povrchu.
Je třeba také poznamenat, že k definování objektu jako konkávního nebo konvexního je třeba vzít v úvahu také perspektivu. Například polévkový talíř, když je připraven k podávání, je vydutý, má propad. Pokud ji však otočíme, bude deska vypouklá.
Na druhou stranu v případě parabol jsou konvexní, pokud mají tvar U, ale konkávní, pokud mají tvar obráceného U.
Konkávní a konvexní funkce
Pokud je druhá derivace funkce v bodě menší než nula, pak je funkce v tomto bodě konkávní. Na druhou stranu, pokud je větší než nula, je v tomto bodě konvexní. Výše uvedené lze vyjádřit takto:
Pokud f »(x) <0, f (x), je konkávní.
Pokud f »(x)> 0, f (x) je konvexní.
Například v rovnici f (x) = x 2 + 5x-6 můžeme vypočítat její první derivaci:
f ‚(x) = 2x + 5
Pak najdeme druhou derivaci:
f »(x) = 2
Protože f »(x) je větší než 0, je funkce pro každou hodnotu x konvexní, jak vidíme v grafu níže:
Nyní se podívejme na případ této další funkce: f (x) = – 4x 2 + 7x + 9.
f ‚(x) = – 8x + 7
f »(x) = – 8
Proto, protože druhá derivace je menší než 0, je funkce konkávní pro každou hodnotu x.
Nyní se ale podívejme na následující rovnici: -5 x 3 + 7x 2 +5 x-4
f ‚(x) = – 15x 2 + 14x + 5
f »(x) = – 30x + 14
Druhou derivaci nastavíme rovnou nule:
-30x + 14 = 0
x = 0,4667
Takže když je x větší než 0,4667, f »(x) je větší než nula, takže funkce je konvexní. Zatímco pokud je x menší než 0,4667, funkce je konkávní, jak vidíme v grafu níže:
Konvexní a konkávní mnohoúhelník
Konvexní mnohoúhelník je takový, kde lze spojit dva jeho body a nakreslit přímku, která zůstane uvnitř obrázku. Stejně tak jeho vnitřní úhly jsou všechny menší než 180º.
Na druhou stranu, konkávní mnohoúhelník je takový, kde pro spojení dvou jeho bodů musí být nakreslena přímka, která je mimo obrazec, což je vnější úhlopříčka, která spojuje dva vrcholy. Navíc alespoň jeden z jeho vnitřních úhlů je větší než 180°.
Srovnání můžeme vidět na obrázku níže:
