největší společný dělitel (GCF)

největší společný dělitel (GCF)

Největší společný dělitel

Největší společný dělitel (GCF) je největší číslo, kterým lze dělit dvě nebo více čísel. To bez zanechání zbytků.

To znamená, že největší společný dělitel neboli GCF je nejvyšší číslo, kterým lze množinu čísel vydělit, což má za následek celé číslo.

Dělitel může být formálně definován jako číslo, které je obsaženo v jiném přesně v množství nkrát.

Je třeba poznamenat, že čísla, na kterých se GCF počítá, musí být nenulová.

Abychom to lépe vysvětlili, podívejme se na příklad. Předpokládejme, že máme 35 a 15. Zjistíme tedy, jaké jsou dělitele každého z nich:

  • Dělitelé 35 → 35,7,5,1
  • Dělitelé 15 → 15,5,3,1

Proto je největší společný faktor 35 a 15 5.

Za zmínku stojí, že pokud jsou společnými děliteli dvou čísel pouze 1 a -1, říká se jim „prvočíslo navzájem“.

Metody výpočtu největšího společného dělitele

Pro výpočet největšího společného dělitele můžeme rozlišit následující tři metody:

  • Rozklad na prvočísla: Čísla se rozkládají na prvočísla. Potom, abychom vypočítali GCF, vezmeme společná čísla umocněná na nejnižší mocninu. Předpokládejme například, že máme 216 a 156:

216/2 = 108

108/2 = 54

54/2 = 27

27/3 = 9

9/3 = 3

3/3 = 1

216 = (3 ^ 3) * (2 ^ 3)

156/2 = 78

78/2 = 39

39/3 = 13

13/13 = 1

156 = 13 * 3 * (2 ^ 2)

Proto by největší společný dělitel mezi oběma čísly byl: (2 ^ 2) * 3 = 12

Nyní předpokládejme, že máme tři prvky: 315, 441 a 819

315 = (3 ^ 2) * 7 * 5

441 = (3 ^ 2) * (7 ^ 2)

819 = (3 ^ 2) * 7 * 13

Poté, po jejich rozčlenění a odebrání každého dělitele s nejnižší mocninou, by výsledek byl:

GCF = (3 ^ 2) * 7 = 63

  • Euklidův algoritmus : Vydělením a b dostaneme kvocient c a r . Takže, největší společný dělitel a a b je stejný jako u b a r. To je za předpokladu následujícího: a = bc + r . Abyste tomu lépe porozuměli, aplikujme tuto metodu na příklad uvedený dříve s 216 a 156.

216/156 = 1 se zbytkem 60

nyní vydělíme 156/60 = 2 se zbytkem 36

Opět dělíme 60/36 = 1 se zbytkem 24

Ještě jednou vydělíme 36/24 = 1 se zbytkem 12

A nakonec vydělíme 24/12 = 2 se zbytkem 0

Proto je největší společný dělitel 12. Jak vidíme, musíme dělit, dokud zbytek nebude 0 a posledním dělitelem bude GCF.

  • Na základě nejmenšího společného násobku : Čísla se vynásobí a výsledek se vydělí jejich nejmenším společným násobkem (LCM).
Mcd 1

Musíme si pamatovat, že nejmenší společný násobek (LCM) je nejmenší číslo, které splňuje podmínku, že je násobkem všech prvků množiny čísel.

To znamená, že když se vrátíme ke stejnému příkladu, můžeme to rozložit následovně:

216 = (3 ^ 3) * (2 ^ 3) a 156 = 13 * 3 * (2 ^ 2) 204 = 3 * (2 ^ 2) * 17 168 = 3 * (2 ^ 3) * 7

Nejmenší společný násobek by byl: (3 ^ 3) * (2 ^ 3) * 13 * 17 * 7 = 334,152

Takže: GCD = 216 * 156 / 2,808 = 12

Za zmínku stojí, že tato metoda funguje pouze pro dvě čísla.

Číselné sady

  • Desetinná čísla a zlomky
  • Maximum (matematický)
  • Generování zlomku