Matice identity

Matice identity

Matice identity

Identitní matice nebo jednotka řádu n je čtvercová matice, kde všechny její prvky jsou nuly (0) mínus prvky hlavní diagonály, které jsou jedničky (1).

Jinými slovy, matice identity má pouze jedničky (1) na hlavní diagonále a všechny ostatní prvky matice mají nuly (0). Kromě toho je matice identity uznávána jako čtvercový tvar, protože se jedná o čtvercovou matici.

Reprezentace matice identity

Snímek obrazovky 2019 07 25 A Les 11.50.35
Příklady identifikačních matic

Můžeme vytvářet nekonečné kombinace jednotkových matic, pokud dodržíme podmínku čtvercové matice: mít stejný počet řádků (n) a sloupců (m).

Vlastnosti

Když provádíme operace s jednotkovou maticí, neměli bychom být nervózní. O matici identity musíme uvažovat jako o čísle jedna (1).

Číslo 1

  • Když vynásobíme jedním (1) jakékoli jiné číslo, zůstane nám stejné číslo ( neutralita ). Je-li dána konstanta z nebo skalární jakákoli:
Snímek obrazovky 2019 07 25 A Les 11.53.12
Neutrální efekt násobení konstanty číslem jedna (1).
  • Pokud uděláme inverzní číslo jedna (1), dostaneme stejnou jedničku (1) ( invertible ).
Snímek obrazovky 2019 07 25 At Les 11.54.00
Neutrální efekt provedení převrácené hodnoty jedničky (1).
  • Když zvýšíme jedničku (1) h jednotek, budeme mít vždy jedničku (1) ( idempotence ).
Snímek obrazovky 2019 07 25 A Les 11.54.06
Neutrální efekt zvýšení jedničky (1) na konstantní h.

Matice identity

  • Neutralita Když se jednotková matice účastní násobení matic, nazývá se neutrální součin. Vzhledem k jakékoli matici Z:
Snímek obrazovky 2019 07 25 A Les 11.54.11
Neutrální efekt násobení matice identity jakoukoliv maticí.
  • Reverzibilní . Inverzní matice jednotkové matice je matice identity:
Snímek obrazovky 2019 07 25 A Les 11.54.17
Neutrální efekt inverze matice identity.
  • Idempotence . Vyvýšená inverzní matice h jednotek (přirozené číslo) je stále jednotkovou maticí:
Snímek obrazovky 2019 07 25 A Les 11.54.22
Neutrální efekt zvýšení matice identity o h jednotek.

Postup pro identifikaci matice identity

  1. Matice musí být čtvercová.
  2. Matice musí mít jedničky (1) na hlavní diagonále a nuly (0) na ostatních pozicích.

Aplikace

Matice identity se účastní tolikrát, kolikrát se číslo jedna (1) účastní algebry. Když například vynásobíme libovolnou matici její inverzní maticí, získáme jednotkovou matici.

Teoretický příklad

Jsou následující matice identifikačními maticemi?

Snímek obrazovky 2019 07 25 A Les 11.54.31
Příklady identifikačních matic a neidentitních matic.

Matrix IA:

  • Čtvercová matice.
  • Neidentitní matice: na hlavní diagonále je číslo jiné než jedna (1) a na ostatních pozicích je číslo jiné než nula (0).

Matrix IB:

  • Ne čtvercová matice.
  • Žádná matice identity.

IC matice:

  • Ne čtvercová matice.
  • Žádná matice identity.

ID matice:

  • Čtvercová matice.
  • Matice identity: v hlavní diagonále jsou jedničky (1) a na ostatních pozicích nuly (0).

IE matice:

  • Čtvercová matice.
  • Žádná matice identity: ačkoli na ostatních pozicích jsou nuly (0), v hlavní diagonále je jiné číslo než jedna (1).

Maticové dělení

  • Čtvercová matice
  • Antisymetrická matice
  • Choleský rozklad